ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1. Ф(х) определена при всех значениях х.
2.
Ф(0)=0.
3.
2
1
2
2
2
1
2
1
)(
0
2
2
=⋅==+∞Φ
∫
∞+
−
π
ππ
dte
t
.
4.
2
1
)( −=−∞Φ .
5.
Ф(х) монотонно возрастает при всех ),(
+
∞
−
∞
∈
x
.
6.
Ф(х) – функция нечетная: Ф(-х)= - Ф(х).
Определим функцию распределения случайной величины Х, имеющей
нормальное распределение.
∫∫
∞−
−
−
∞−
==
x
ax
x
dxedxxfxF
2
2
2
)(
2
1
)()(
σ
πσ
.
Обозначив
,t
ax
=
−
σ
получим
=+==
∫∫∫
−
−
∞−
−
−
∞−
−
σσ
πππ
ax
tt
ax
t
dtedtedtexF
0
2
0
22
222
2
1
2
1
2
1
)(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Φ+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Φ+⋅⋅=
σσ
π
π
axax
2
1
2
2
1
2
1
.
Итак, функция распределения случайной величины Х имеет вид
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Φ+=
σ
ax
xF
2
1
)(
.
Вероятность попадания случайной величины Х,
имеющей нормальное распределение,
в заданном интервале
Используя функцию распределения случайной величины Х, найдем ве-
роятность попадания ее значений в интервал (α, β).
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Φ+−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Φ+=−=<<
σσ
β
αββα
axa
FFXP
2
1
2
1
)()()(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Φ−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Φ=
σ
α
σ
β
aa
.
Таким образом,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Φ−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Φ=<<
σ
α
σ
β
βα
aa
XP )(.
Пример. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х
имеет вид
164
2
)(
−+−
⋅=
xx
exf
γ
. Найти: γ, M[X], D[X], F(x),
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<<−
4
5
4
3
XP .
Случайная величина Х имеет нормальное распределение. Поэтому при-
ведем плотность распределения f(x) к виду
1. Ф(х) определена при всех значениях х.
2. Ф(0)=0.
2π 1
2
1 + ∞ − t2 1
3. Φ ( +∞) = ∫
2π 0
e dt =
2π
⋅
2
= .
2
1
4. Φ ( −∞ ) = − .
2
5. Ф(х) монотонно возрастает при всех x ∈ ( −∞,+∞ ) .
6. Ф(х) – функция нечетная: Ф(-х)= - Ф(х).
Определим функцию распределения случайной величины Х, имеющей
нормальное распределение.
2
( x −a )
x x
1 −
F ( x ) = ∫ f ( x )dx = ∫ e 2σ dx .
2
−∞ − ∞σ 2π
x−a
Обозначив = t , получим
σ
x −a x −a
t2 t2 2
1 σ
1 − 1 σ − t2
0
−
F ( x) = ∫ e dt = 2π −∫∞e dt + 2π ∫0 e dt =
2π − ∞
2 2
1 1 ⎛ x−a⎞ 1 ⎛x−a⎞
= ⋅ ⋅ 2π + Φ ⎜ ⎟ = + Φ⎜ ⎟.
2π 2 ⎝ σ ⎠ 2 ⎝ σ ⎠
Итак, функция распределения случайной величины Х имеет вид
1 ⎛x−a⎞
F ( x) = + Φ⎜ ⎟.
2 ⎝ σ ⎠
Вероятность попадания случайной величины Х,
имеющей нормальное распределение,
в заданном интервале
Используя функцию распределения случайной величины Х, найдем ве-
роятность попадания ее значений в интервал (α, β).
⎡1 ⎛ β − a ⎞⎤ ⎡ 1 ⎛ x − a ⎞⎤
P(α < X < β ) = F ( β ) − F (α ) = ⎢ + Φ ⎜ ⎟⎥ − ⎢ + Φ ⎜ ⎟⎥ =
⎣2 ⎝ σ ⎠⎦ ⎣ 2 ⎝ σ ⎠⎦
⎛β −a⎞ ⎛α − a ⎞
= Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟.
⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠
⎛β −a⎞ ⎛α − a ⎞
Таким образом, P(α < X < β ) = Φ ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟.
⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠
Пример. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х
⎛ 3 5⎞
имеет вид f ( x ) = γ ⋅ e −4 x + 6 x −1 . Найти: γ, M[X], D[X], F(x), P⎜ − < X < ⎟ .
2
⎝ 4 4⎠
Случайная величина Х имеет нормальное распределение. Поэтому при-
ведем плотность распределения f(x) к виду
