ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
=+=+=
∫∫∫
∞+
∞−
−
∞+
∞−
−
∞+
∞−
−
dttedte
a
dtetaXM
ttt
222
222
22
)(
2
1
][
π
σ
π
σ
π
ae
a
t
=−⋅=
+∞
∞−
−
2
2
2
2
2
π
σ
π
π
.
Итак, М[X]=a. Значение параметра а в формуле, определяющей плотность
распределения вероятности, равно математическому ожиданию рассматри-
ваемой случайной величины. Точка х=а является центром распределения
вероятностей, или центром рассеивания.
Найдем
∫∫
∞+
∞−
−
−
∞+
∞−
== dxexdxxfxXM
ax
2
2
2
)(
222
2
1
)(][
σ
πσ
.
Выполнив ту же замену переменной, будем иметь
∫
∞+
∞−
−
=++= dtettaaXM
t
2
2222
2
)2(
2
1
][
σσ
π
∫∫∫∫
+∞
∞−
−
+∞
∞−
−
+∞
∞−
−
+∞
∞−
−
⋅++=++= dttetadtetdtte
a
dte
a
tttt
2
2
2
2
2
2
22
2
2222
2
0
22
2
2
π
σ
π
σ
π
σ
π
.
Проинтегрировав по частям последний интеграл: u=t,
d
t
tedv
t
2
2
−
= , получим
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+=
∫
∞+
∞−
−
+∞
∞−
−
dteteaXM
tt
22
2
22
22
2
][
π
σ
.
Так как по правилу Лопиталя 0lim
2
2
=
−
∞→
t
t
te , то
22
2
22
2
2
][
σπ
π
σ
+=⋅+= aaXM .
Поэтому дисперсия нормального распределения случайной величины
будет
222222
][][][
σ
σ
=
−
+
=
−
= aaXMXMXD
.
Итак, M[X]=a, D[X]=σ
2
, σ[X]= σ.
Функция Лапласа.
Функция распределения случайной величины Х,
имеющей нормальное распределение
В дальнейшем будем использовать функцию Лапласа, определяемую ра-
венством
∫
−
=Φ
x
t
dtex
0
2
2
2
1
)(
π
.
Составлены подробные таблицы значений этой функции.
Укажем некоторые свойства функции Ф(х).
1 +∞
−a t2 +∞
−
t2
σ +∞
−
t2
M[X ] = ∫ ( a + σt ) e dt = 2
∫e 2
dt + ∫ te 2
dt =
2π −∞ 2π −∞ 2π −∞
+∞
σ − t2
2
a
= ⋅ 2π − e =a.
2π 2π −∞
Итак, М[X]=a. Значение параметра а в формуле, определяющей плотность
распределения вероятности, равно математическому ожиданию рассматри-
ваемой случайной величины. Точка х=а является центром распределения
вероятностей, или центром рассеивания.
Найдем
2
+∞
1 + ∞ 2 − ( x2−σa )
M [ X ] = ∫ x f ( x )dx =
2 2
∫x e dx .
2
−∞ σ 2π − ∞
Выполнив ту же замену переменной, будем иметь
2
1 +∞ 2 −
t
M[X ] =2
∫ ( a + 2aσt + σ t )e 2 dt =
2 2
2π − ∞
2 aσ σ 2 +∞ 2 − t2 σ 2 +∞
2 2 2 2
2 +∞ +∞
a −
t
−
t
−
t
= ∫ e dt + ∫ te dt + ∫ t e dt = a + 0 + ∫ t ⋅ te 2 dt .
2 2 2
2π − ∞ 2π − ∞ 2π − ∞ 2π − ∞
t2
−
Проинтегрировав по частям последний интеграл: u=t, dv = te dt , получим 2
2 ⎛ ⎞
+∞
σ
2 2
t +∞ t
⎜ − te 2 + e − 2 dt ⎟ .
−
M[X 2 ] = a2 +
2π ⎝⎜
∫ ⎟
−∞
−∞
⎠
t2
−
Так как по правилу Лопиталя lim te 2
= 0 , то
t →∞
σ2
M[X ] = a +
2
⋅ 2π = a 2 + σ 2 .
2
2π
Поэтому дисперсия нормального распределения случайной величины
будет
D[ X ] = M [ X 2 ] − M 2 [ X ] = a 2 + σ 2 − a 2 = σ 2 .
Итак, M[X]=a, D[X]=σ2, σ[X]= σ.
Функция Лапласа.
Функция распределения случайной величины Х,
имеющей нормальное распределение
В дальнейшем будем использовать функцию Лапласа, определяемую ра-
венством
2
1 x − t2
Φ( x) = ∫ e dt .
2π 0
Составлены подробные таблицы значений этой функции.
Укажем некоторые свойства функции Ф(х).
