Теория вероятностей. Королева М.П. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГЭУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

10
1
)( =
−
−
=+
−
=
∫∫
ab
ab
dxdx
ab
xF
x
b
b
a
.
Таким образом,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤≤
−
−
<
=
. при 1
, при
, при 0
)(
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
Пример. Интервал движения автобуса равен 20 минутам. Найти вероят-
ность того, что пассажир будет ожидать автобус менее 5 минут.
Пусть случайная величина Х – время прихода пассажира на станцию по-
сле отправления очередного автобуса 0<X<20. Х имеет равномерное распре-
деление, так как вероятность прихода, например, в пятую минуту, равна ве-
роятности прихода в восьмую.
В задаче требуется найти вероятность того,
что случайная величина Х примет значение из интервала (15, 20).
25,0
20
5
)2015( ==<< XP .
Числовые характеристики
равномерного распределения
Для случайной величины Х, имеющей равномерное распределение,
плотность распределения определяется формулой
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
><
≤≤
−
=
., при 0
, при
1
)(
bxax
bxa
ab
xf
Тогда по определению математического ожидания
2)(22
11
)(][
222
ba
ab
abx
ab
dx
ab
xdxxxfXM
b
a
b
a
+
=
−
−
=⋅
−
=
−
==
∫∫
∞+
∞−
.
3)(33
11
)(][
22333
222
baba
ab
abx
ab
dx
ab
xdxxfxXM
b
a
b
a
++
=
−
−
=⋅
−
=
−
==
∫∫
∞+
∞−
.
Дисперсия равномерно распределенной случайной величины будет
=
−
=
][][][
22
XMXMXD
12
)(
12
2
4
2
3
2222222
abbabababababa −
=
+−
=
++
−
++
=
.
Итак,
2
][
ba
XM
+
= , ][XD =
12
)(
2
ab −
,
32
][
ab
X
−
=
σ
. 
                       1  b     x
                                        b−a
              F ( x) = ∫   dx + ∫ 0dx =     = 1.
                   a b−a        b       b−a
     Таким образом,
                   ⎧ 0 при x < a ,
                   ⎪x − a
          F ( x) = ⎨         при a ≤ x ≤ b,
                   ⎪ b − a
                   ⎩     1 при x > b.
     Пример. Интервал движения автобуса равен 20 минутам. Найти вероят-
ность того, что пассажир будет ожидать автобус менее 5 минут.
     Пусть случайная величина Х – время прихода пассажира на станцию по-
сле отправления очередного автобуса 0 b.
    Тогда по определению математического ожидания
                                                           b
                  +∞               b
                                          1        1 x2        b2 − a 2 a + b
        M [ X ] = ∫ xf ( x )dx = ∫ x        dx =      ⋅      =         =      .
                  −∞               a  b−a        b − a 2 a 2( b − a )     2
                                                         b
                 +∞             b
                                   1            1 x3          b 3 − a 3 a 2 + ab + b 2
   M [ X ] = ∫ x f ( x )dx = ∫ x
          2           2             2
                                       dx =         ⋅       =          =               .
             −∞              a   b−a         b − a 3 a 3(b − a )               3
    Дисперсия равномерно распределенной случайной величины будет
                             D[ X ] = M [ X 2 ] − M 2 [ X ] =
              a 2 + ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2 a 2 − 2ab + b 2 (b − a ) 2
            =                −                 =                   =         .
                    3                4                  12             12
Итак,
                          a+b               (b − a ) 2               b−a
                M[X ] =         , D[ X ] =             , σ[X ] =         .
                            2                   12                   2 3

Страницы