Теория вероятностей. Королева М.П. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГЭУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Закон равномерного распределения вероятностей
непрерывной случайной величины
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение
вероятностей если ее плотность распределения
задается следующим образом:
⎩
⎨
⎧
><
≤
≤
=
. , при 0
, при
)(
bxax
bxac
xf
Найдем значение с. По свойству плотностей
распределения 1)( =
∫
+∞
∞−
dxxf получаем
1)()( =−==
∫∫
+∞
∞−
abccdxdxxf
b
a
,
следовательно,
ab
c
−
=
1
и
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
><
≤≤
−
=
., при 0
, при
1
)(
bxax
bxa
ab
xf
Так как
c
ab
1
=− , то промежуток [a, b], на котором имеет место равно-
мерное распределение, обязательно конечен.
Определим вероятность того, что случайная величина Х примет значе-
ние, заключенное в интервале (α, β).
ab
dx
ab
dxxfXP
−
−
=
−
==<<
∫∫
αβ
βα
β
α
β
α
1
)()(.
Итак, искомая вероятность
ab
XP
−
−
=<<
α
β
βα
)(,
т.е. вероятность попадания Х в интервал зависит только от длины этого ин-
тервала и не зависит от значений величины Х. При равномерном распределе-
нии случайной величины Х вероятности попадания Х в промежутки равной
длины одинаковы.
Найдем функцию распределения
∫
∞−
=
x
dxxfxF )()(.
Если х<a, то f(x)=0 и, следовательно, 0)(
=
x
F .
Если а≤x≤b, то
ab
xf
−
=
1
)( и, следовательно,
ab
ax
dx
ab
xF
x
a
−
−
=
−
=
∫
1
)(.
Если х>b, то f(x)=0 и, следовательно, 
            Закон равномерного распределения вероятностей
                   непрерывной случайной величины

    Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение
вероятностей если ее плотность распределения
задается следующим образом:
                     ⎧ c при a ≤ x ≤ b,
            f ( x) = ⎨
                     ⎩0 при x < a, x > b.
    Найдем значение с. По свойству плотностей
                +∞

распределения   ∫ f ( x )dx = 1 получаем
                −∞
                         +∞           b

                         ∫ f ( x )dx = ∫ cdx = c(b − a ) = 1 ,
                         −∞           a

                       1
следовательно, c =        и
                      b−a
                                  ⎧⎪ 1
                                          при a ≤ x ≤ b,
                         f ( x) = ⎨ b − a
                                   ⎪⎩ 0 при x < a , x > b.
                    1
    Так как b − a =   , то промежуток [a, b], на котором имеет место равно-
                    c
мерное распределение, обязательно конечен.
     Определим вероятность того, что случайная величина Х примет значе-
ние, заключенное в интервале (α, β).
                                 β             β
                                                  1       β −α
                 P(α < X < β ) = ∫ f ( x )dx = ∫     dx =      .
                                 α             α b−a      b−a
     Итак, искомая вероятность
                                                β −α
                             P(α < X < β ) =         ,
                                                 b−a
т.е. вероятность попадания Х в интервал зависит только от длины этого ин-
тервала и не зависит от значений величины Х. При равномерном распределе-
нии случайной величины Х вероятности попадания Х в промежутки равной
длины одинаковы.
                                                    x

    Найдем функцию распределения F ( x ) =          ∫ f ( x )dx .
                                                   −∞

Если хb, то f(x)=0 и, следовательно,

Страницы