Теория вероятностей. Королева М.П. - 23 стр.

      Если случайная величина Х может принимать значения только на ко-
                                            b

нечном отрезке [a, b], то M [ X ] = ∫ xf ( x )dx .
                                            a

      Дисперсия непрерывной случайной величины Х определяется равенст-
вом
                                                        +∞

                  D[ X ] = M [X − M ( X )] =            ∫ (x − M [ X ])
                                                2                        2
                                                                             f ( x )dx ,
                                                        −∞

или равносильным равенством
                                       +∞

                           D[ X ] = ∫ x 2 f ( x )dx − (M [ X ]) .
                                                                     2

                                       −∞

      Все свойства математического ожидания и дисперсии, указанные для
дискретных величин, сохраняются и для непрерывных величин
      Среднеквадратичным отклонением случайной величины Х называется
корень квадратный из дисперсии
                                           σ [ X ] = D[ X ] .
      Значение случайной величины Х, при котором плотность распределения
f(x) имеет наибольшее значение называется модой М0[X].
      Медианой Ме[X] непрерывной случайной величины Х, называют ее зна-
чение, определяемой равенством
                             P( X < M e [ X ]) = P( X > M e [ X ])
или
                                   M                +∞
                               e
                                                                  1
                                   ∫−∞ f ( x )dx = M∫ f ( x )dx = 2 .
                                                    e


      Пример. Случайная величина Х задана плотностью распределения
                                          ⎧      0 при x ≤ 0,
                                          ⎪     1
                              f ( x ) = ⎨ x − x 3 при 0 < x < 2,
                                          ⎪     4
                                          ⎩       0 при x ≥ 2.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклоне-
ние величины Х.
      Воспользуемся определениями.
                                                                         2
                  +∞
                                       ⎛       1 3⎞         ⎛1 3 1 5 ⎞     8 8 16
                                   2

        M [ X ] = ∫ xf ( x )dx = ∫ x ⎜ x − x ⎟dx = ⎜ x −              x ⎟ = − = .
                  −∞               0 ⎝         4 ⎠          ⎝3      20 ⎠ 0 3 5 15
                                                                                      2
                 +∞
                                       ⎛   1 ⎞         ⎛1     1 6⎞   4
                                   2

        M [ X ] = ∫ x f ( x )dx = ∫ x ⎜ x − x 3 ⎟dx = ⎜ x 4 −
             2        2                2
                                                                x ⎟ = .
                  −∞                0  ⎝   4 ⎠         ⎝4     24 ⎠ 0 3
                                       4 256 44
       D[ X ] = M [ X 2 ] − M 2 [ X ] = −    =       .
                                       3 225 225
                            2 11
       σ [ X ] = D[ X ] =          .
                             15