Теория вероятностей. Королева М.П. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГЭУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

5. Если все возможные значения случайной величины Х находятся на
интервале (а, b), то F(x)=0 при х≤а и F(x)=1 при b
x
≥ .
6.
0)(lim =
−∞→
xF
x
,
1)(lim
=
+∞→
xF
x
.
Плотностью распределения
непрерывной случайной величины Х назы-
вают производную от функции распределения: )()( xFxf
′
=
.
Плотность распределения непрерывной случайной величины Х обладает
свойствами:
1.
f(x)≥0.
2.
1)( =
∫
+∞
∞−
dxxf .
3.
Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения
случайной величины
∫
∞−
=
x
dxxfxF )()(.
4.
∫
=<<
b
a
dxxfbXaP )()(.
Примеры. 1. Случайная величина Х задана функцией распределения
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤<−
≤
=
.3 при 1
,32 при )2(
,2 при 0
)(
2
x
xx
x
xF
Найти плотность распределения этой случайной величины и вероятность по-
падания ее в интервал (1; 2,5).
По определению
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
<<−
<
=
′
=
.3 при 0
,32 при )2(2
,2 при 0
)()(
x
xx
x
xFxf
Требуемая вероятность будет
4
1
0
4
1
)1()5,2()5,21( =−=−=<< FFXP .
2. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤<−
≤
=
.2 при 0
,21 при
2
1
,1 при 0
)(
x
xx
x
xf
Найти функцию распределения этой величины.
Воспользуемся формулой
∫
∞−
=
x
dxxfxF )()(.
Если х≤1, то f(x)=0, следовательно,
00)( ==
∫
∞−
x
dxxF
. 
    5. Если все возможные значения случайной величины Х находятся на
       интервале (а, b), то F(x)=0 при х≤а и F(x)=1 при x ≥ b .
    6. lim F ( x ) = 0 , lim F ( x ) = 1 .
         x → −∞              x → +∞



    Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х назы-
вают производную от функции распределения: f ( x ) = F ′( x ) .
    Плотность распределения непрерывной случайной величины Х обладает
свойствами:
    1. f(x)≥0.
         +∞

    2.   ∫ f ( x )dx = 1 .
         −∞

    3. Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения
                                        x

         случайной величины F ( x ) =   ∫ f ( x )dx .
                                        −∞
                             b

    4. P( a < X < b) = ∫ f ( x )dx .
                             a



    Примеры. 1. Случайная величина Х задана функцией распределения
                                   ⎧      0 при x ≤ 2,
                                   ⎪
                         F ( x ) = ⎨( x − 2) 2 при 2 < x ≤ 3,
                                   ⎪      1 при x > 3.
                                   ⎩
Найти плотность распределения этой случайной величины и вероятность по-
падания ее в интервал (1; 2,5).
    По определению
                                        ⎧      0 при x < 2,
                                        ⎪
                   f ( x ) = F ′( x ) = ⎨2( x − 2) при 2 < x < 3,
                                        ⎪       0 при x > 3.
                                        ⎩
Требуемая вероятность будет
                                                        1       1
                  P(1 < X < 2,5) = F ( 2,5) − F (1) = − 0 = .
                                                        4       4
    2. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
                                     ⎧ 0 при x ≤ 1,
                                     ⎪     1
                           f ( x) = ⎨ x −     при 1 < x ≤ 2,
                                     ⎪     2
                                     ⎩ 0 при x > 2.
Найти функцию распределения этой величины.
                                             x

    Воспользуемся формулой F ( x ) =         ∫ f ( x )dx .
                                             −∞
                                                             x

    Если х≤1, то f(x)=0, следовательно, F ( x ) = ∫ 0dx = 0 .
                                                             −∞

Страницы