Теория вероятностей. Королева М.П. - 19 стр.

    σ [ X ] = 0,6 = 0,77 .
    2. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее три раза подряд извлекают
шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну. Пусть Х – число
извлеченных белых шаров. Составить закон распределения этой величины,
определить ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное
отклонение.
    Вероятность вынуть из урны белый шар р=0,6. Чтобы найти закон рас-
пределения случайной величины Х, воспользуемся формулой Бернулли, для
которой n=3.
    P( X = 0) = q 3 = 0,064 .
    P( X = 1) = C 31 pq 2 = 3 ⋅ 0,6 ⋅ 0,16 = 0,288 .
    P( X = 2) = C 32 p 2 q = 3 ⋅ 0,36 ⋅ 0,4 = 0,432 .
    P( X = 3) = p 3 = 0,216 .
    Итак, закон распределения имеет вид
      Х                   0                    1        2        3
      Р                0,064                 0,288    0,432    0,216

    Определим числовые характеристики случайной величины.
    M[X]=0,288+0,864+0,648=1,8
    D[X]= M[X2] – (M[X])2=1·0,288+4·0,432+9·0,216 – 3,24=0,72.
    σ [ X ] = 0,72 = 0,85 .


                      Биномиальный закон распределения
                       дискретной случайной величины

       Закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может
принимать n+1 значение 0,1,2,…,n, описываемый формулой Бернулли
Pn ( k ) = C nk p k q n − k , называется биномиальным. Запишем биномиальный закон в
виде таблицы
        Х                      0            1           2        …           n
                                                                             pn
                                               n −1     2 n −2
        Р                     q n
                                        C n pq
                                          1
                                                    Cn p q
                                                     2
                                                                 …

    Определим числовые характеристики биномиального распределения.
Пусть Х – число появлений события А в n испытаниях. Если обозначим через
Xk – число появлений события А в k-ом испытании, то
                             n
X = X 1 + X 2 + ... + X n = ∑ X k .
                           k =1

    Закон распределения случайной величины Xk имеет вид
          Xk                       0                                 1
           Р                       q                                 P