Теория вероятностей. Королева М.П. - 18 стр.

     Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называ-
ется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности
                                                                   n
                   M [ X ] = x1 p1 + x 2 p 2 + ... + x n p n = ∑ x k p k .
                                                                  k =1
                                                            ∞
Для бесконечной случайной величины: M [ X ] = ∑ x k p k .
                                                           k =1

    Можно показать, что при большом числе испытаний среднее арифмети-
ческое наблюдаемых значений близко к ее математическому ожиданию.
    Математическое ожидание случайной величины Х называется центром
распределения вероятностей случайной величины.
    Математическое ожидание обладает следующими свойствами.
    1. M[C]=C, где С=const.
    2. M[CX]=C·M[X].
    3. Для независимых случайных величин Х и У М[XY]= M[X] · M[Y].
    4. Для любых случайных величин Х и У М[X+Y]= M[X] + M[Y].

    Характеристиками рассеивания возможных значений случайной величи-
ны вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и
среднеквадратичное отклонение.
    Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание
квадрата отклонения значений величины от ее математического ожидания:
                                                    n
                 D[ X ] = M ( X − M [ X ]) = ∑ ( x k − M [ X ]) p k .
                                              2                          2

                                                   k =1

Дисперсию удобно вычислять по формуле
                           D[X]= M[X2] – (M[X])2.
    Дисперсия обладает следующими свойствами.
    1. D[C]=0, где С=const.
    2. D[CX]=C2·D[X].
    3. Для независимых случайных величин Х и У D[X+Y]= D[X] + D[Y].
    В частности, из свойств дисперсии следует, что
                               D[С+Х]= D[X]
                           D[X - Y]= D[X] + D[Y].
    Среднеквадратичным отклонением случайной величины называется ко-
рень квадратный из ее дисперсии:
                              σ [ X ] = D[ X ] .
    Примеры. 1. Случайная величина Х задана следующим законом распре-
деления:
        Х                  2                      3         4
        Р                 0,3                    0,4       0,3

    Найдем ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное
отклонение.
    M[X]=2·0,3+3·0,4+4·0,3=3;
    D[X]=(2 – 3)2·0,3+(3 – 3)2·0,4+(4 – 3)2·0,3=0,6;