Теория вероятностей. Королева М.П. - 26 стр.

                     Нормальный закон распределения
                     непрерывной случайной величины

    Изучение различных явлений показывает, многие случайные величины,
например, такие, как погрешности при измерениях, величина износа деталей
во многих механизмах и т.д., имеет плотность распределения вероятности,
которая определяется формулой
                                    2
                           ( x −a )
                    1    −
         f ( x) =       e 2σ ,
                                2


                  σ 2π
где    а        и     σ – параметры
распределения. В этом случае
говорят, что случайная величина Х
подчинена нормальному закону
распределения. Кривая нормального
распределения        изображена     на
рисунке.
    В дальнейшем нам потребуется интеграл Пуассона
                                         +∞           t2
                                                  −

                                         ∫    e        2
                                                           dt =             2π .
                                         −∞

     Используя этот интеграл несложно заметить, что функция распределе-
ния f(x) удовлетворяет основному соотношению
                                                  +∞

                                                  ∫ f ( x )dx = 1 .
                                                  −∞

                                        x−a
Действительно, обозначив                          = t , dx = σdt , можно написать
                                         σ
                +∞           ( x −a )2                       +∞        t2
                     1   −                    1                    −                   1
                 ∫ 2π  e       2σ 2
                                         dx =                ∫e         2
                                                                            dt =          ⋅ 2π = 1 .
                − ∞σ                          2π             −∞                        2π


                          Числовые характеристики
                         нормального распределения

   Определим математическое ожидание случайной величины с нормаль-
ным законом распределения
                                                                                       2
                                                ( x−a )
                                          1   −
                               f ( x) =      e 2σ
                                                                                   2

                                                                                           .
                                        σ 2π
                                                                                                   2
                                        +∞                ( x −a )
                                                              +∞
                                                   1    −
                  M [ X ] = ∫ xf ( x )dx = ∫ x         e 2σ dx .
                                                                                               2



                            −∞             −∞ σ     2π
                                         x−a
     Выполнив замену переменной                = t , x = a + σt , dx = σdt , получа-
                                                             σ
ем