ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2
2
2
)(
2
1
)(
σ
πσ
ax
exf
−
−
= .
Выделим в показателе заданной функции полный квадрат
4
5
4
3
4
4
1
16
9
4
3
4
4
1
2
3
4164
22
22
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−−=−+− xxxxxx .
Следовательно,
(
)
4
1
4
3
4
5
4
5
4
3
4
2
2
)(
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
⋅⋅=⋅=
x
x
eeexf
γγ
.
Сравним
(
)
2
2
2
2
)(
4
1
4
3
4
5
2
1
σ
πσ
γ
ax
x
eee
−
−
−
−
=⋅⋅ .
Из последнего равенства получаем
4
3
][ == aXM
.
4
1
2
2
=
σ
, т.е.
8
1
][
2
==
σ
XD .
π
γ
2
22
1
1
4
5
=⋅e ,
4
5
2
e⋅
=
π
γ
.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−Φ+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Φ+=
2
23
22
2
1
2
1
)( x
ax
xF
σ
.
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
Φ−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Φ=<<−
σσ
aa
XP
4
3
4
5
)
4
5
4
3
(
=−Φ−Φ=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
Φ−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
Φ= )23()2(
22
1
4
3
4
3
22
1
4
3
4
5
921,0499968,04207,0)23()2( =+=Φ+Φ= .
В последнем равенстве при вычислении
)2(Φ и )23(Φ использо-
ваны таблицы значений функции Ф(
х).
Итак:
4
5
2
e⋅
=
π
γ
,
4
3
][ =
XM ,
8
1
][ =
XD ,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−Φ+=
2
23
22
2
1
)(
xxF ,
921,0)
4
5
4
3
( =<<− XP .
2
( x −a )
1 −
f ( x) = e 2σ .
2
σ 2π
Выделим в показателе заданной функции полный квадрат
⎛ 2 3 1⎞ ⎛⎛ 3⎞
2
9 1⎞ ⎛
2
3⎞ 5
− 4 x + 6 x − 1 = −4⎜ x − x + ⎟ = −4⎜⎜ ⎜ x − ⎟ − + ⎟⎟ = −4⎜ x − ⎟ + .
2
⎝ 2 4⎠ ⎝⎝ 4 ⎠ 16 4 ⎠ ⎝ 4⎠ 4
Следовательно,
⎛ 3⎞ 5
2 (x − 3 4 ) 2
−4⎜ x − ⎟ + 5 −
1
f ( x) = γ ⋅ e ⎝ 4⎠ 4
= γ ⋅e ⋅e
4 4
.
Сравним
(x − 3 4 )
2
( x −a ) 2
−
5
1 1 −
γ ⋅e ⋅e = e 2σ .
2
4 4
σ 2π
Из последнего равенства получаем
3
M[X ] = a = .
4
1 1
2σ 2 = , т.е. D[ X ] = σ 2 = .
4 8
5 1 2
γ ⋅e 4 = , γ = .
1 π ⋅ e
5
4
2π
2 2
1 ⎛x−a⎞ 1 ⎛ 3 2⎞
F ( x) = + Φ⎜ ⎟ = + Φ ⎜⎜ 2 2 x − ⎟⎟ .
2 ⎝ σ ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠
3 5 ⎛ 5 −a⎞ ⎛− 3 −a⎞
P( − < X < ) = Φ ⎜ 4 ⎟ − Φ⎜ 4 ⎟=
4 4 ⎜ σ ⎟ ⎜ σ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛5 −3 ⎞ ⎛− 3 − 3 ⎞
⎜ 4 4 ⎟ ⎜ 4 4 ⎟ = Φ ( 2 ) − Φ ( −3 2 ) =
= Φ⎜ ⎟ − Φ ⎜ 1 ⎟
⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠
= Φ ( 2 ) + Φ (3 2 ) = 0,4207 + 0,499968 = 0,921 .
В последнем равенстве при вычислении Φ ( 2 ) и Φ (3 2 ) использо-
ваны таблицы значений функции Ф(х).
2 3 1 1 ⎛ 3 2⎞
Итак: γ = 5
, M [ X ] = , D[ X ] = , F ( x ) = + Φ ⎜⎜ 2 2 x − ⎟⎟ ,
π ⋅e 4 4 8 2 ⎝ 2 ⎠
3 5
P( − < X < ) = 0,921 .
4 4
