ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1 Предел функции
Теоретический материал, необходимый для практики, изложен в разделе
2.2 курса лекций [3].
1.1 Предельная точка множества
Пусть X — подмножество R. Существует большое разнообразие возмож-
ных ситуаций: множество X может состоять только из своих предельных
точек, а может не содержать ни одной предельной точки, если a — предель-
ная точка X, то она может принадлежать или не принадлежать множеству.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Указать множество предельных точек следующих множеств:
a) X = {(−1)
n
, n ∈ N}, b) X =
(
1
n
, n ∈ N
)
, c) X =
(
sin
πn
2
+
1
n
, n ∈ N
)
.
a) Множество X состоит из двух элементов: −1 и 1. Поэтому для любой
точки a ∈ R в любой окрестности U
a
содержится не более двух точек мно-
жества X. В силу определения 2.20 из [3] точка a не является предельной
точкой X. Следовательно, множество X не имеет предельных точек в R.
b) Рассмотрим числовую последовательность {x
n
}
∞
n=1
: x
n
=
1
n
. Ее элементы
составляют множество X и, кроме того, lim
n→∞
x
n
= 0, причем ∀ n ∈ N x
n
6=
0. Следовательно, по критерию предельной точки числового множества ([3,
теорема 2.29]), точка x = 0 является предельной точкой множества X. Так
как множество элементов последовательности {x
n
} и исследуемое множество
X совпадают, то вне любой окрестности точки x = 0 содержится не более
конечного числа элементов из X. Поэтому,
∀a ∈ R\{0}∃U
a
:
◦
U
a
∩X 6= ∅.
Значит, множество X не имеет других предельных точек, кроме x = 0.
c) Элементы последовательности {x
n
}
∞
n=1
: x
n
= sin
πn
2
+
1
n
, составляют
множество X. Рассмотрим последовательность {x
0
n
}
∞
n=1
: x
0
n
= sin
πn
2
. Ясно,
что для всех n ∈ N
x
n
= x
0
n
+
1
n
. (1)
Выпишем первые элементы последовательности {x
0
n
}
∞
n=1
:
0, 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, . . . .
3
