Предел и непрерывность функции - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

1.2 Определение предела функции в точке
Важную роль в курсе математического анализа играет понятие предела
функции в точке a, связанное с поведением функции в проколотой окрестно-
сти этой точки. Напомним здесь только два важнейших определения.
Определение 1 (Коши). Пусть X ⊂ R, f : X → R и a — предель-
ная точка множества X. Точка A ∈
R называется пределом функции
f(x) в точке a (или, говорят, при x стремящемся к a), если для любой
окрестности U
A
точки A существует окрестность U
a
точки a такая,
что f(x) ∈ U
A
, ∀ x ∈
◦
U
a
∩ X; при этом используют одно из следующих
обозначений: A = lim
x→a
f(x), A = lim
a
f, f(x) → A при x → a.
Равносильным первому, является следующее определение предела функ-
ции в точке на языке последовательностей (см. [3, теорема 2.31]).
Определение 2 (Гейне). Пусть f : X ⊂ R → R, a — предельная точка
множества X. Точка A ∈ R называется пределом функции f(x) в точке
a, если для любой последовательности {x
n
}
∞
n=1
такой, что
x
n
∈ X, x
n
6= a, ∀n ∈ N, lim
n→∞
x
n
= a,
соответствующая ей последовательность образов {f(x
n
)}
∞
n=1
имеет пре-
дел, равный A, то есть lim
n→∞
f(x
n
) = A.
Из этих определений следует, что существование и величина предела
функции f(x) в точке a не зависит ни от значения функции f(x) в точке
a (функция может быть даже не определена в этой точке), ни от поведения
функции f(x) вне некоторой окрестности точки a.
Тот факт, что A из R не является пределом функции f в точке a означает
следующее.
1) по Коши (в случае a, A ∈ R):
∃ε
0
> 0 : ∀δ > 0 ∃x
δ
∈ X : 0 < |x
δ
− a| < δ, |f(x
δ
) − A| ≥ ε
0
;
2) по Гейне: ∃{x
n
}
∞
n=1
: x
n
∈ X, x
n
6= a, ∀n ∈ N, lim
n→∞
x
n
= a, но A не
является пределом последовательности {f(x
n
)}.
Из определения Гейне предела функции в точке следует, что если суще-
ствуют последовательности {x
n
}
∞
n=1
и {x
0
n
}
∞
n=1
, удовлетворяющие всем требо-
ваниям определения 2, но такие, что соответствующие им последовательно-
сти {f(x
n
)}
∞
n=1
и {f(x
0
n
)}
∞
n=1
имеют различные пределы (либо предел одной
из них вовсе не существует), то не существует и lim
x→a
f(x).
Пример 2. Используя определение предела функции в точке доказать:
5

Страницы