Предел и непрерывность функции - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

a) lim
x→−1
(1 − 2x) = 3, b) lim
x→−3
x
2
= 9,
c) lim
x→+∞
x sin x
x
2
− 100x + 3000
= 0, d) lim
x→−1
x
3
(x + 1)
2
= −∞.
a) Рассмотрим функцию f(x) = 1 − 2x. Очевидно, что D(f) = R и точка
a = −1 — предельная точка множества D(f). Фиксируем число ε > 0. Найдем
окрестность точки a = −1, в которой выполняется неравенство |f(x) −3| < ε:
|(1 − 2x) − 3| < ε ⇔ 2|x + 1| < ε ⇔ |x + 1| <
ε
2
.
Положим δ =
ε
2
, тогда получим:
∀ε > 0 ∃δ(ε) =
ε
2
> 0 : ∀x ∈ R, 0 < |x + 1| < δ ⇒ |f(x) − 3| < ε.
По определению предела функции в точке по Коши lim
x→−1
f(x) = 3.
b) Рассмотрим функцию f(x) = x
2
. Так как D(f) = R, то точка a =
−3 — предельная для множества D(f). Фиксируем число ε > 0. Найдем
окрестность точки a = −3, в которой выполняется неравенство |f(x) −9| < ε.
Так как |f(x) − 9| = |x
2
− 9| = |x − 3| |x + 3|, то оценим сверху |x − 3| в
некоторой окрестности точки a = −3. Например, в окрестности U
−3
(1)
|x − 3| = |(x + 3) − 6| ≤ |x + 3| + 6 < 7.
Следовательно,
|x
2
− 9| < 7|x + 3|, ∀x ∈ U
−3
(1). (3)
Далее, заметим, что 7|x + 3| < ε ⇔ |x + 3| < ε/7. Чтобы можно было ис-
пользовать полученное неравенство (3), искомая δ-окрестность точки a = −3
должна лежать в U
−3
(1). Поэтому положим δ = min{1; ε/7}. Таким образом,
∀ε > 0 ∃δ > 0 :
∀x : 0 < |x + 3| < δ ⇒ |x
2
− 9| < ε
.
По определению предела функции в точке по Коши lim
x→−3
f(x) = 9.
c) Рассмотрим функцию f(x) =
x sin x
x
2
+ 100x + 3000
. Нетрудно убедиться в
том, что D(f) = R и, следовательно, точка +∞ является предельной точ-
кой множества D(f). Фиксируем произвольное число ε > 0. Покажем, что
существует число δ > 0 такое, что ∀x ∈ (δ, +∞) выполняется неравенство
|f(x)| < ε. Выберем удобную для дальнейших оценок окрестность точки +∞,
например, U
+∞
(1) = (1, +∞). Тогда для всех x ∈ U
+∞
(1) x
2
+100x+3000 > x
2
6

Страницы