Предел и непрерывность функции - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Можно утверждать, что данная последовательность исчерпывается подпо-
следовательностями : {x
0
2k−1
}
∞
k=1
: x
0
2k−1
= 0, {x
0
4k−2
}
∞
k=1
: x
0
4k−2
= 1 и
{x
0
4k
}
∞
k=1
: x
0
4k
= −1 (то есть каждый элемент последовательности принад-
лежит одной и только одной из указанных подпоследовательностей). Далее,
так как lim
n→∞
1/n = 0, существуют следующие пределы
lim
k→∞
x
2k−1
= 0, lim
k→∞
x
4k−1
= 1, lim
k→∞
x
4k
= −1. (2)
А поскольку для всех k ∈ N
x
2k−1
=
1
2k − 1
6= 0, x
4k−1
= 1 +
1
4k − 1
6= 1, x
4k
= −1 +
1
4k
6= −1,
по критерию предельной точки числового множества, точки 0, 1, −1 — пре-
дельные точки множества X.
Докажем, что X не имеет других предельных точек. Так как
−1 ≤ x
0
n
≤ 1 , 0 <
1
n
≤ 1, ∀n ∈ N,
то, в силу (1), −1 ≤ x
n
≤ 2, ∀n ∈ N. Поэтому множество X ограничено, а
значит бесконечно удаленные точки не являются его предельными точками.
Пусть a ∈ R \ {−1; 0; 1}. В силу аксиомы непрерывности для множества
вещественных чисел, существуют попарно не пересекающиеся окрестности
U
−1
, U
0
, U
1
, U
a
, точек −1, 0, 1, a, соответственно. Из (2) следует, что вне
окрестностей U
−1
, U
0
, U
1
находится не более конечного числа элементов
подпоследовательностей {x
2k−1
}
∞
k=1
, {x
4k−2
}
∞
k=1
, {x
4k
}
∞
k=1
, а, значит, не более
конечного числа элементов последовательности {x
n
}
∞
n=1
. Тогда в окрестности
◦
U
a
находится не более конечного числа членов последовательности {x
n
}
∞
n=1
.
Последнее означает, что точка a не является предельной точкой множества
X (см. определение ??).
Итак, только точки −1, 0, 1 являются предельными для множества X.
Задания для самостоятельной работы
Найти предельные точки следующих множеств:
a) X =
(
(−1)
n
2n + 1
n
, n ∈ N
)
, b) X =
(−1)
n
+ 1
2
, n ∈ N
,
c) X = (0, 2), d) X = {−n(1 + cos nπ), n ∈ N},
e) X =
(
sin
nπ
3
, n ∈ N
)
, f) X =
(
cos
π
n
, n ∈ N
)
.
4

Страницы