Предел и непрерывность функции - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Аналогично, для последовательности x
0
n
: x
0
n
= 1/πn имеем:
x
0
n
∈ R \ {0}, ∀n ∈ N, lim
n→∞
x
0
n
= 0, sin x
0
n
= 0, lim
n→∞
f(x
0
n
) = 0.
Следовательно, не существует lim
x→0
sin
1
x
.
Из приведенных выше примеров видно, что определение предела функции
в точке позволяет доказать, что данная величина является пределом функ-
ции в точке, но не дает конструктивного метода вычисления предела.
Задания для самостоятельной работы
1. Что означает на языке “ε − δ” утверждение:
a) lim
x→2
f(x) = 3; b) lim
x→∞
f(x) = −5;
c) lim
x→0
f(x) = 2; d) lim
x→−∞
f(x) 6= +∞ ?
2. Используя определение предела функции в точке, доказать:
a) lim
x→2
(3x + 2) = 8; b) lim
x→3
x
2
− 9
x − 3
= 6;
c) lim
x→0
x cos x
2
= 0; d) lim
x→0
√
x
2
+ 1 − 1
x
= 0;
e) lim
x→+∞
arctg(x + 1)
2x
2
+ x + 5
= 0; f) lim
x→−∞
2 sin x + 3
x
2
+ x − 1
= 0;
g) lim
x→−∞
x
3
− 2x
x + 1
= +∞; h) lim
x→+∞
cos(x + 1)
√
x + 1
= 0.
1.3 Вычисление предела функции в точке
Чтобы вычислить предел функции в точке, следует использовать теоремы
[3, 2.34 – 2.44] и их следствия о свойствах функций, имеющих предел в
точке, а также свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Но непосредственное применение этих результатов часто невозможно, напри-
мер, при вычислении lim
x→a
f(x)
g(x)
, когда lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0. В этом случае
говорят, что имеет место неопределенность вида
0
0
. Аналогично вводятся
символические обозначения других неопределенностей:
∞
∞
, 0 · ∞, ∞ − ∞, 1
∞
, 0
0
, ∞
0
.
8

Страницы