Предел и непрерывность функции - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

1.4 Вычисление предела рациональной функции
Рациональной функцией или рациональной дробью называется функция
вида f(x) =
P
n
(x)
Q
m
(x)
, где P
n
(x), Q
m
(x) — многочлены степеней n и m, соот-
ветственно. Множество предельных точек области определения рациональ-
ной функции есть
R. Рассмотрим вычисление пределов lim
x→a
P
n
(x)
Q
m
(x)
, где a ∈ R.
Если a ∈ R и lim
x→a
P
n
(x) = lim
x→a
Q
m
(x) = 0, то для вычисления указанного
предела (раскрытия неопределенности вида 0/0) обычно преобразуют дробь,
выделяя в числителе и знаменателе множитель вида (x − a).
Если a = ∞ (или ±∞), то lim
x→a
P
n
(x) = lim
x→a
Q
m
(x) = ∞ и для раскрытия
неопределенности вида
∞
∞
выносят в числителе и в знаменателе за скобку x
n
и x
m
, соответственно, а, затем, используют свойства пределов и сравнивают
рост бесконечно больших функций x
n
и x
m
при x → ∞:
lim
x→∞
P
n
(x)
Q
m
(x)
= lim
x→∞
x
n
a
0
+ a
1
1
x
+ a
2
1
x
2
+ ... + a
n
1
x
n
!
x
m
b
0
+ b
1
1
x
+ b
2
1
x
2
+ ... + b
n
1
x
m
!
=
a
b
lim
x→∞
x
n
x
m
=
=
a
0
b
0
, если n = m
0, если n < m
∞, если n > m
Пример 4. Вычислить lim
x→1
x
3
− 1
x
2
− 4x + 3
.
Так как lim
x→1
(x
3
− 1) = lim
x→1
(x
2
− 4x − 3) = 0, то имеем неопределенность
вида 0/0. Представим числитель и знаменатель в виде
x
3
− 1 = (x −1)(x
2
+ x + 1), x
2
− 4x + 3 = (x −1)(x −3).
При x 6= 1 имеем:
x
3
− 1
x
2
− 4x + 3
=
x
2
+ x + 1
x − 3
.
Но lim
x→1
(x
2
+ x + 1) = 3, а lim
x→1
(x − 3) = 2, поэтому по теореме о пределе
частного (см. теорему [3, 2.36]) lim
x→1
x
3
− 1
x
2
− 4x + 3
= lim
x→1
x
2
+ x + 1
x − 3
=
3
2
.
Замечание. При делении многочлена на (x −a) часто используются при
n ∈ N следующие равенства:
x
2n
− a
2n
= (x − a)
x
2n−1
+ x
2n−2
a + x
2n−3
a
2
+ ··· + x a
2n−2
+ a
2n−1
,
10

Страницы