Предел и непрерывность функции - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

В тех случаях, когда имеет место неопределенность, для вычисления пре-
дела (“раскрытия неопределенности”) выражение следует преобразовать так,
чтобы всё же применить теоремы о функциях, имеющих предел. Для таких
преобразований используют либо тождественные (в проколотой окрестности
предельной точки) преобразования, либо сравнение поведения функций при
стремлении аргумента к предельной точке ([3, раздел 2.2.8]).
При вычислении пределов часто используют следующий результат.
Теорема 1. Если f
1
(x) ∼ f(x), g
1
(x) ∼ g(x) при x → a, то из существо-
вания предела функции
f
1
(x)
g
1
(x)
при x → a следует существование предела
функции
f(x)
g(x)
при x → a и справедливость равенства lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f
1
(x)
g
1
(x)
.
Одна из самых распространенных ошибок при вычислении предела функ-
ции состоит в замене на эквивалентную функции, не являющейся множите-
лем (чаще всего, это ошибочная замена в отдельном слагаемом алгебраиче-
ской суммы или в суперпозиции функций).
Напомним некоторые эквивалентные при x → 0 функции:
sin x ∼ x (1 + x)
1/x
∼ e
1 − cos x ∼
x
2
2
e
x
− 1 ∼ x
ctg x ∼
1
x
a
x
− 1 ∼ x ln a
tg x ∼ x ln(1 + x) ∼ x
arcsin x ∼ x log
a
(1 + x) ∼
x
ln a
(a > 0, a 6= 1)
arctg x ∼ x (1 + x)
µ
− 1 ∼ µx (µ ∈ R \ {0})
Кроме перехода к эквивалентным при вычислении пределов функций на-
до помнить некоторые результаты о сравнении поведения двух бесконечно
малых или бесконечно больших функций при стремлении аргумента к пре-
дельной точке (см.[3, раздел 2.2.8]). Например,
1) lim
x→+∞
log
β
a
x
x
α
= 0 (∀α, β > 0; ∀a > 1), то есть x
α
— бесконечно большая
более высокого порядка роста по сравнению с log
β
a
x при x → +∞;
2) lim
x→+∞
x
α
a
x
= 0 (∀α > 0; ∀a > 1), то есть a
x
— бесконечно большая более
высокого порядка роста по сравнению с x
α
при x → +∞.
9

Страницы