Предел и непрерывность функции - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

x
2n
− a
2n
= (x + a)
x
2n−1
− x
2n−2
a + x
2n−3
a
2
− ··· + x a
2n−2
− a
2n−1
,
x
2n+1
− a
2n+1
= (x − a)
x
2n
+ x
2n−1
a + x
2n−2
a
2
+ ··· + x a
2n−1
+ a
2n
.
Пример 5. Вычислить lim
x→−1
x
20
+ 2x + 1
x
30
+ 3x + 2
.
Так как lim
x→−1
(x
20
+ 2x + 1) = lim
x→−1
(x
30
+ 3x + 2) = 0, то имеем неопреде-
ленность вида
0
0
и для ее раскрытия выделим в числителе и знаменателе
множитель (x + 1):
x
20
+ 2x + 1 = x
20
−1 + 2(x + 1) = (x + 1)
x
19
− x
18
+ ··· + x − 1
+ 2(x + 1) =
= (x + 1)
x
19
− x
18
+ ··· + x − 1 + 2
,
x
30
+ 3x + 2 = (x
30
−1) + 3(x + 1) = (x + 1)
x
29
− x
28
+ ··· + x − 1
+ 3(x + 1) =
= (x + 1)
x
29
− x
28
+ ··· + x − 1 + 3
.
Итак, по теореме о пределе суммы и частного(см. теорему [3, 2.36])
lim
x→−1
x
20
+ 2x + 1
x
30
+ 3x + 2
= lim
x→−1
(x
19
− x
18
+ ··· + x − 1) + 2
(x
29
− x
28
+ ··· + x − 1) + 3
=
−18
−27
=
2
3
.
Пример 6. Вычислить lim
x→−∞
(x − 1)
20
(3x + 1)
11
(5x − 17)
30
.
Так как lim
x→−∞
(x − 1)
20
(3x + 1)
11
= −∞, lim
x→−∞
(5x − 17)
20
= +∞, то имеем
неопределённость вида
∞
∞
. Преобразуем исходное отношение:
(x − 1)
20
(3x + 1)
11
(5x − 17)
30
=
x
20
1 −
1
x
!
20
x
11
3 +
1
x
!
11
x
30
5 −
17
x
!
30
= x ·
1 −
1
x
!
20
3 +
1
x
!
11
5 −
17
x
!
30
.
Применяя теорему о пределе суммы, произведения и частного, имеем:
lim
x→−∞
1 −
1
x
!
20
3 +
1
x
!
11
5 −
17
x
!
30
=
3
11
5
30
6= 0.
Теперь, учитывая свойства бесконечно больших функций, получаем, что
lim
x→−∞
x ·
1 −
1
x
!
20
3 +
1
x
!
11
5 −
17
x
!
30
= −∞.
11

Страницы