Предел и непрерывность функции - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

и знаменателю, и получим
lim
x→−8
√
1 − x − 3
2 +
3
√
x
= lim
x→−8
−(x + 8)(4 − 2
3
√
x +
3
√
x
2
)
(
√
1 − x + 3)(8 + x)
=
= − lim
x→−8
4 − 2
3
√
x +
3
√
x
2
√
1 − x + 3
= −
12
6
= −2 .
Пример 9. Вычислить lim
x→0
x +
5
√
x
7
2 −
3
√
8 − x
.
Имеем неопределённость вида 0/0. Числитель рассматриваемой функций
является суммой степенных функций x и x
7/5
. Так как x → 0, то для выясне-
ния порядка малости этой суммы вынесем в числителе за скобку слагаемое
с наименьшей степенью, то есть x. Знаменатель является разностью двух
функций, одна из которых является иррациональной. Отношение умножим и
разделим на выражение, «сопряжённое» к знаменателю.
lim
x→0
x +
5
√
x
7
2 −
3
√
8 − x
= lim
x→0
x(1 + x
2/5
)
4 + 2
3
√
8 − x +
3
q
(8 − x)
2
x
=
= lim
x→0
(1 + x
2/5
)(4 + 2
3
√
8 − x +
3
q
(8 − x)
2
) = 1 · 12 = 12 .
При вычислении пределов вида lim
x→∞
f(x)
g(x)
, где f(x) и g(x) — бесконечно
большие функции при x → ∞, часто бывает полезно вынести за скобку в
числителе и знаменателе функцию, имеющую наибольший рост при x → ∞.
Пример 10. Вычислить lim
x→+∞
3
√
x
2
+
√
x
2
+ 5
5
√
x
7
+
√
x + 1
.
Имеем неопределённость вида
∞
∞
. Так как при x → +∞ функция
√
x
2
+ 5
имеет тот же порядок роста, что и x, а x
2/3
имеет меньший рост, чем x, то
в числителе вынесем за скобки x. Аналогично, в знаменателе наибольший
рост при x → +∞ имеет функция x
7/5
, поэтому вынесем её за скобки:
A = lim
x→+∞
3
√
x
2
+
√
x
2
+ 5
5
√
x
7
+
√
x + 1
= lim
x→+∞
x
1
x
1/3
+
s
1 +
5
x
2
x
7/5
1 +
s
1
x
9/5
+
1
x
14/5
=
= lim
x→+∞
1
x
2/5
·
1
x
1/3
+
s
1 +
5
x
2
1 +
s
1
x
9/5
+
1
x
14/5
.
13

Страницы