Предел и непрерывность функции - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Пример 12. Вычислить lim
x→−∞
x(
√
x
2
+ 1 + 2x).
Заметим, что lim
x→−∞
√
x
2
+ 1 = +∞, lim
x→−∞
(2x) = −∞. Так как
√
x
2
+ 1 = −x
v
u
u
t
1 +
1
x
2
,
то при x → −∞ функции
√
x
2
+ 1 и 2x имеют одинаковый порядок роста.
Вынесем в исходном выражении за скобку x и получим:
lim
x→−∞
x
√
x
2
+ 1 + 2x
= lim
x→−∞
x
2
−
v
u
u
t
1 +
1
x
2
+ 2
= +∞,
поскольку предел последнего сомножителя равен 1.
Пример 13. Вычислить lim
x→∞
√
x
2
+ 6 + |x|
4
√
x
4
+ 2 − |x|
.
Легко видеть, что lim
x→∞
(
√
x
2
+ 6 + |x|) = +∞, а знаменатель представляет
неопределённость вида (∞ − ∞) и является разностью эквивалентных при
x → ∞ функций. Для её раскрытия можно было бы умножить и разделить
исходное отношение на выражение, сопряжённое знаменателю. Однако, оно
достаточно громоздко. Поэтому выполним следующие преобразования:
lim
x→∞
√
x
2
+ 6 + |x|
4
√
x
4
+ 2 − |x|
= lim
x→∞
|x|
s
1 +
6
x
2
+ 1
|x|
4
s
1 +
2
x
4
− 1
= lim
x→∞
s
1 +
6
x
2
+ 1
4
s
1 +
2
x
4
− 1
= +∞,
так как предел числителя равен 2, а знаменатель является положительной
бесконечно малой функцией при x → ∞.
Задания для самостоятельной работы
Вычислить следующие пределы:
1) lim
x→4
√
1 + 2x − 3
√
x − 2
, 2) lim
x→+∞
q
2x +
√
2x
√
x + 1
,
3) lim
x→0
x +
3
√
x
5
3
√
1 − x − 1
, 4) lim
x→1
1
1 −
√
x
−
1
1 −
3
√
x
,
5) lim
x→+∞
r
x +
q
x +
√
x −
√
x
!
, 6) lim
x→+∞
√
2x
2
+ x −
√
x
2
+ 1
(
√
2x + 1 −
√
x)(
√
3x + 5)
,
15

Страницы