Предел и непрерывность функции - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Используя свойства бесконечно больших функций и теорему о пределе сум-
мы и частного, получим, что
lim
x→+∞
1
x
2/5
= 0, lim
x→+∞
1
x
1/3
+
s
1 +
5
x
2
1 +
s
1
x
9/5
+
1
x
14/5
= 1.
Окончательно, из теоремы о пределе произведения, следует, что A = 0·1 = 0.
При вычислении пределов вида lim
x→∞
(f(x) −g(x)), где
lim
x→∞
f(x) = lim
x→∞
g(x) = +∞ (или − ∞),
то есть при раскрытии неопределенности вида (∞ − ∞), поступают так:
1) если f(x) и g(x) при x → ∞ не являются функциями одного порядка
роста, то выносят за скобку функцию, имеющую больший рост;
2) если f(x) и g(x) — функции одного порядка роста при x → ∞, то выпол-
няют тождественные преобразования в окрестности U
∞
так, чтобы мож-
но было воспользоваться свойствами пределов. В частности, если одна из
функций f(x), g(x) является иррациональной, то часто полезно умножить
и разделить исходное выражение на «сопряжённое» к f(x) − g(x).
Пример 11. Вычислить A = lim
x→+∞
(
√
1 + 2x + x
2
−
√
x
2
− 4x + 1).
Имеем неопределённость вида (∞ − ∞), при этом слагаемые являются
иррациональными выражениями. Умножим и разделим исследуемую разность
на «сопряжённое» к ней выражение и получим, что
A = lim
x→+∞
6x
√
1 + 2x + x
2
+
√
x
2
− 4x + 1
.
Последнее отношение представляет собой неопределённость вида ∞/∞ при
x → +∞, но в знаменателе стоит сумма двух бесконечно больших функ-
ций одного знака, порядок роста каждой их которых при x → +∞ равен x.
Вынося в знаменателе x за скобку, имеем:
A = lim
x→+∞
6x
x
s
1
x
2
+
2
x
+ 1 +
s
1 −
4
x
+
1
x
2
=
= lim
x→+∞
6
s
1
x
2
+
2
x
+ 1 +
s
1 −
4
x
+
1
x
2
= 3 .
14

Страницы