Предел и непрерывность функции - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Задания для самостоятельной работы
Вычислить пределы:
1) lim
x→1
(x→0;x→−1)
x
3
− x
x(x + 1)
, 2) lim
x→0
(1 + x)(1 + 2x) − 1
x + 3x
2
,
3) lim
x→0
5x + 1 − (1 + x)
5
x
2
− 3x
5
, 4) lim
x→1
x
3
− 3x
2
+ 1
x
3
− x
2
− x + 1
,
5) lim
x→1
3
1 − x
3
+
1
x − 1
!
, 6) lim
x→∞
(x + 5)
5
− (x + 6)
5
x
4
+ x
3
,
7) lim
x→∞
(x + 1)
15
(2x + 3)
20
(3x + 5)
35
, 8) lim
x→∞
5x + 1 − (1 + x)
5
x
2
− 3x
5
,
9) lim
x→1
x
n
− 1
x
m
− 1
, (n, m ∈ N), 10) lim
x→1
x + x
2
+ ··· + x
n
− n
x − 1
,
11) lim
x→1
x
100
− 2x + 1
x
50
− 2x + 1
, 12) lim
x→1
x
n
− (n + 1)x + n
(x − 1)
2
.
1.5 Вычисление предела иррациональной функции
Общих правил вычисления предела иррациональной функции нет. Способ
вычисления зависит от вида функции. Поэтому рассмотрим применяемые
методы на конкретных примерах.
Пример 7. Вычислить lim
x→1
√
3 + x − 2
x − 1
.
Имеем неопределённость вида
0
0
. Умножим числитель и знаменатель на
выражение (
√
3 + x + 2) «сопряжённое» к числителю, и получим
lim
x→1
√
3 + x − 2
x − 1
= lim
x→1
x − 1
(x − 1)(
√
3 + x + 2)
= lim
x→1
1
√
3 + x + 2
=
1
4
.
Пример 8. Вычислить lim
x→−8
√
1 − x − 3
2 +
3
√
x
.
Имеем неопределённость вида 0/0. В числителе и знаменателе данной
дроби имеем почти ту же ситуацию, что и в числителе предыдущего при-
мера. Отличие состоит в том, что в знаменателе стоит корень кубический.
В этом случае выражением «сопряженным» к знаменателю будет неполный
квадрат разности. В остальном метод решения остается прежним: умножим
и разделим исходное отношение на выражения, «сопряжённые» к числителю
12

Страницы