Предел и непрерывность функции - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Пример 16. Вычислить lim
x→π
(π − x) tg
x
2
.
Имеем неопределенность вида 0 · ∞, tg
x
2
=
sin
x
2
cos
x
2
, sin
x
2
∼ 1 при x → π,
cos
x
2
= cos
π
2
+
1
2
(x − π)
!
= −sin
1
2
(x − π) и cos
x
2
∼ −
1
2
(x − π) при x → π.
Тогда
lim
x→π
(π − x) tg
x
2
= lim
x→π
(π − x)
sin x/2
cosx/2
= lim
x→π
(π − x)
−2
(x − π)
= 2.
Пример 17. Вычислить A = lim
x→π/6
cos(
2π
3
− x)
√
3 − 2 cos x
.
Имеем неопределенность вида (0/0). Но
cos
2π
3
− x
!
= cos
π
2
+
π
6
− x
!!
= −sin
π
6
− x
!
,
√
3 − 2 cos x = 2
√
3
2
− cos x
= 2
cos
π
6
− cos x
!
=
= −4 sin
1
2
π
6
+ x
!
sin
1
2
π
6
− x
!
.
Переходя в числителе и знаменателе при x → π/6 к эквивалентным и
учитывая, что lim
x→π/6
sin
1
2
π
6
+ x
!
→ sin
π
6
=
1
2
, получим:
A = lim
x→π/6
π
6
− x
4
1
2
π
6
− x
!
sin
1
2
π
6
+ x
!
= lim
x→π/6
1
2 sin
1
2
π
6
+ x
!
= 1.
Пример 18. Вычислить lim
x→0
1 + arcsin x
2
− cos x
sin
2
3x
.
Имеем неопределенность вида 0/0. Так как sin
2
3x ∼ 9x
2
при x → 0, то
A = lim
x→0
1 + arcsin x
2
− cos x
sin
2
3x
= lim
x→0
arcsin x
2
9x
2
+
1 − cos x
9x
2
.
Но arcsin x
2
∼ x
2
, 1 − cos x = 2 sin
2
x
2
∼
1
2
x
2
при x → 0, поэтому
lim
x→0
arcsin x
2
9x
2
= lim
x→0
x
2
9x
2
=
1
9
, lim
x→0
1 − cos x
9x
2
= lim
x→0
1
2
x
2
9x
2
=
1
18
.
17

Страницы