Предел и непрерывность функции - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Пользуясь теоремой 2.36 из [3], получаем, что A =
1
9
+
1
18
=
1
6
.
Пример 19. Вычислить lim
x→∞
(sin
√
x
2
+ 1 − sin
√
x
2
− 1).
Заметим, что при x → ∞ каждое из слагаемых не имеет предела, но
sin
√
x
2
+ 1 − sin
√
x
2
− 1 =
= 2 cos
√
x
2
+ 1 +
√
x
2
− 1
2
sin
√
x
2
+ 1 −
√
x
2
− 1
2
.
Так как при x → ∞
√
x
2
+ 1 +
√
x
2
− 1
2
=
2
2(
√
x
2
+ 1 +
√
x
2
− 1)
→ 0,
то lim
x→∞
sin
√
x
2
+ 1 −
√
x
2
− 1
2
= 0. Но
cos
√
x
2
+ 1 +
√
x
2
− 1
2
≤ 1, ∀x : |x| ≥ 1.
Поэтому по свойству бесконечно малых функций
lim
x→∞
(sin
√
x
2
+ 1 − sin
√
x
2
− 1) = 0.
Пример 20. Вычислить lim
x→0
π −4 arctg
1
1 + x
x
.
Так как π −4 arctg
1
1 + x
= 4
π
4
− arctg
1
1 + x
!
→ 0 при x → 0, то
π
4
− arctg
1
1 + x
∼ tg
π
4
− arctg
1
1 + x
!
.
Воспользуемся формулой тангенса разности:
tg
π
4
− arctg
1
1 + x
!
=
tg
π
4
− tg
arctg
1
1 + x
!
1 + tg
π
4
tg
arctg
1
1 + x
!
=
1 −
1
1 + x
1 +
1
1 + x
=
x
2 + x
.
Таким образом,
lim
x→0
π −4 arctg
1
1 + x
x
= 4 lim
x→0
tg
π
4
− arctg
1
1 + x
!
x
=
= 4 lim
x→0
x
x(2 + x)
= 4 lim
x→0
1
2 + x
= 2.
18

Страницы