Предел и непрерывность функции - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

1. lim
x→x
0
log
a
(1 + α(x))
α(x)
=
1
ln a
(a > 0, a 6= 1),
2. lim
x→x
0
a
α(x)
− 1
α(x)
= ln a (a > 0, a 6= 1),
3. lim
x→x
0
(1 + α(x))
µ
− 1
α(x)
= µ, µ ∈ R.
Если
(1) u(x) → 1 при x → x
0
,
(2) u(x) 6= 1 в некоторой проколотой окрестности точки x
0
,
то при x → x
0
log
a
u(x) ∼
u(x) − 1
ln a
(a > 0, a 6= 1);
(u(x))
µ
− 1 ∼ µ (u(x) − 1), ∀µ ∈ R\{0}.
Замечание. В силу теоремы 3.4 из [3] последние соотношения экви-
валентности остаются справедливыми и в том случае, когда условие (2) не
выполняется. В последующем мы не будем проверять это условие.
Пример 21. Вычислить lim
x→0
ln(1 + sin x)
x
.
Имеем неопределенность вида 0/0. Так как lim
x→0
sin x = 0, то ln(1 + sin x) ∼
sin x при x → 0. Поэтому lim
x→0
ln(1 + sin x)
x
= lim
x→0
sin x
x
= 1.
Пример 22. Вычислить A = lim
x→10
lg x − 1
x
2
− 12x + 20
.
Имеем неопределенность вида 0/0. Легко видеть, что
A = lim
x→10
lg
x
10
(x − 10)(x − 2)
.
Так как
x
10
→ 1 при x → 10, то lg
x
10
∼
x
10
− 1
!
lg e, и x − 2 ∼ 8 при x → 10.
Поэтому A = lim
x→10
x
10
− 1
!
lg e
(x − 10) (x − 2)
=
lg e
10
lim
x→10
(x − 10)
(x − 10) (x − 2)
=
lg e
80
.
Пример 23. Вычислить lim
x→0
ln cos 2x
ln cos 5x
.
20

Страницы