Предел и непрерывность функции - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Так как lim
x→0
cos 2x = lim
x→0
cos 5x = 1, то при x → 0 ln cos 2x ∼ cos 2x − 1,
ln cos 5x ∼ cos 5x − 1. Поэтому,
lim
x→0
ln cos 2x
ln cos 5x
= lim
x→0
cos 2x − 1
cos 5x − 1
= lim
x→0
−2 sin
2
x
−2 sin
2
5x
2
= lim
x→0
x
2
(5x)
2
4
=
4
25
.
Пример 24. Вычислить lim
x→0
ln tg
π
4
+ 4x
!
arctg 2x
.
Имеем неопределенность вида 0/0. Так как при x → 0 arctg 2x ∼ 2x,
tg
π
4
+ 4x
!
→ 1, то ln tg
π
4
+ 4x
!
∼ tg
π
4
+ 4x
!
− 1 при x → 0. Поэтому,
переходя к эквивалентным, получим:
lim
x→0
ln tg
π
4
+ 4x
!
arctg 2x
= lim
x→0
tg
π
4
+ 4x
!
2x
= lim
x→0
tg
π
4
+ 4x
!
− tg
π
4
2x
=
= lim
x→0
sin 4x
2x cos
π
4
+ 4x
!
cos
π
4
=
1
√
2
lim
x→0
4x
x cos
π
4
+ 4x
!
=
1
√
2
·
4
√
2
2
= 4.
Для сравнения рассмотрим методы вычисления пределов вида
lim
x→a
ln f(x)
ln g(x)
, когда lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = +∞.
Пример 25. Вычислить lim
x→−∞
ln(x
2
+ 4x + 2)
ln(x
10
+ x
3
+ x)
.
Имеем неопределенность вида ∞/∞.
lim
x→−∞
ln(x
2
+ 4x + 2)
ln(x
10
+ x
3
+ x)
= lim
x→−∞
ln
x
2
1 +
4
x
+
2
x
2
!!
ln
x
10
1 +
1
x
7
+
1
x
9
!!
=
= lim
x→−∞
2 ln |x| + ln
1 +
4
x
+
2
x
2
!
10 ln |x| + ln
1 +
1
x
7
+
1
x
9
!
= lim
x→−∞
2 +
1
ln |x|
ln
1 +
4
x
+
2
x
2
!
10 +
1
ln |x|
ln
1 +
1
x
7
+
1
x
9
!
=
=
2 + 0
10 + 0
=
1
5
,
21

Страницы