Предел и непрерывность функции - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Имеем неопределенность вида 0/0. Заметим, что при x → 0
sin x ∼ x, 2x
2
+ 10x + 1 → 1, x
2
+ 10x + 1 → 1.
Поэтому A = lim
x→0
5
√
2x
2
+ 10x + 1 − 1
x
−
7
√
x
2
+ 10x + 1 − 1
x
. Так как
lim
x→0
5
√
2x
2
+ 10x + 1 − 1
x
= lim
x→0
1
5
(2x
2
+ 10x)
x
= 2,
lim
x→0
7
√
x
2
+ 10x + 1 − 1
x
= lim
x→0
x
2
+ 10x
7x
=
10
7
,
то A = 2 −
10
7
=
4
7
.
Пример 29. Вычислить lim
x→0
1 − cos
7
x
x
2
.
Имеем неопределенность вида 0/0. При x → 0 cos x → 1, поэтому
cos
7
x − 1 ∼ 7(cos x − 1) и
lim
x→0
1 − cos
7
x
x
2
= lim
x→0
−7(cos x − 1)
x
2
= 7 lim
x→0
2 sin
2
x
2
x
2
= 7 lim
x→0
x
2
2x
2
=
7
2
.
Пример 30. Вычислить lim
x→1
sin(πx
α
)
a
x
− a
(a > 0, a 6= 1, α 6= 0).
Имеем неопределенность вида (0/0). При x → 1 πx
α
→ π, поэтому
sin(πx
α
) = sin(π + π(x
α
− 1)) = −sin π(x
α
− 1) ∼ −π(x
α
− 1) ∼ −πα(x − 1),
a
x
− a = a(a
x−1
− 1) ∼ a(x − 1) ln a, и
lim
x→1
sin(πx
α
)
a
x
− a
= lim
x→1
−πα(x − 1)
a(x − 1) ln a
= −
πα
a ln a
.
Задания для самостоятельной работы
Вычислить следующие пределы:
1) lim
x→0
(1 + x
3
)
10
− 1
x
3
, 2) lim
x→0
7
√
1 + x
2
− 1
ln(1 + x
2
)
,
3) lim
x→1
10
√
x −
12
√
x
1 − tg
πx
4
, 4) lim
x→0
cos
π
x − 1
3
x
2
− 2
x
2
,
23

Страницы