Предел и непрерывность функции - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

A = lim
x→a−0
f(x) ⇔
lim f(x
n
) = A, ∀{x
n
}
+∞
n=1
: x
n
∈ X
\
(−∞, a)
,
A = lim
x→a+0
f(x) ⇔
lim f(x
n
) = A, ∀{x
n
}
+∞
n=1
: x
n
∈ X
\
(a, +∞), lim x
n
= a
.
Односторонние пределы обладают теми же свойствами, что и пределы (см.
[3, раздел 2.2.4]). Если a — односторонняя предельная точка области опреде-
ления функции f, то понятие предела функции в точке a и соответствующего
ее одностороннего предела в этой точке совпадают. Если же a — двусторон-
няя предельная точка, связь между пределом функции в точке и ее одно-
сторонними пределами в этой же точке устанавливает теорема 2.42 из [3],
из которой следует следующие утверждения, полезные для доказательства
отсутствия предела функции:
1) если существуют оба односторонних предела и f(a−0) 6= f(a+0), причем
хотя бы одно из значений конечно, то не существует lim
x→a
f(x);
2) если оба односторонних предела бесконечны, то f(x) — бесконечно боль-
шая функция при x → a, то есть lim
x→a
f(x) = ∞;
3) если не существует хотя бы один из односторонних пределов функции
f(x) в точке a, то не существует и предела f(x) в точке a.
Пример 31. Вычислить односторонние пределы функции f(x) в точке a:
a) f(x) =
|x − 1|
x
2
− x
3
, a = 1; b) f(x) =
1
1 + e
1/(x+1)
, a = −1.
a). Область определения функции — множество D(f) = R\{0; 1}, x = 1 —
ее двусторонняя предельная точка.
Для любого δ > 0 |x − 1| =
1 − x, x ∈ (1 − δ, 1)
x − 1, x ∈ (1, 1 + δ)
. Поэтому
lim
x→1−0
f(x) = lim
x→1−0
1 − x
x
2
(1 − x)
= lim
x→1−0
1
x
2
= 1,
lim
x→1+0
f(x) = lim
x→1+0
x − 1
x
2
(1 − x)
= lim
x→1−0
−1
x
2
= −1.
Поскольку f(1 −0) 6= f(1 + 0), то не существует lim
x→1
f(x).
25

Страницы