Предел и непрерывность функции - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

b). Область определения функции — множество D(f) = R \ {−1}. Точка
a = −1 — двусторонняя предельная точка D(f). Так как
x → −1 − 0 ⇐⇒ x + 1 → −0 ⇐⇒
1
x + 1
→ −∞ ⇐⇒ e
1/(x+1)
→ 0,
x → −1 + 0 ⇐⇒ x + 1 → +0 ⇐⇒
1
x + 1
→ +∞ ⇐⇒ 1 + e
1/(x+1)
→ +∞,
то lim
x→−1−0
1
1 + e
1/(x+1)
= 1, lim
x→−1+0
1
1 + e
1/(x+1)
= 0.
Следовательно, не существует предела f(x) при x → −1.
Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить следующие односторонние пределы :
1) lim
x→+0
(x→−0)
|sin x|
x
; 2) lim
x→−2−0
(x→−2+0)
x + 2
|x + 2|
;
3) lim
x→+0
(x→−0)
sgn(sin x); 4) lim
x→+0
(ln(x + e
x
))
1/ arctg x
;
5) lim
x→1−0
tg
πx
4
!
1/ arccos
2
x
; 6) lim
x→π+0
√
1 + cos x
x − π
;
7) lim
x→+0 (x→−0)
√
e
x
2
− 1
arcsin x
; 8) lim
x→+0
√
1 − e
−x
−
√
1 − cos x
√
sin x
;
9) lim
x→1+0
(a
x
− a)
3
√
x
2
− 1 −
√
2x − 2
; 10) lim
x→2+0
(x→2−0)
arctg
x
2
− 4
(x − 2)
2
.
2. Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:
a) lim
x→a+0
f(x) = +∞ (−∞); b) lim
x→+0
f(x) = 1;
c) lim
x→a−0
f(x) = ∞; d) lim
x→−3−0
f(x) = 0.
2 Непрерывность функции в точке
Всюду далее будем считать, что функция f : X ⊂ R → R. Напомним, что
функция f называется непрерывной в точке a ∈ X, если для любого ε > 0
найдется такое δ = δ(ε) > 0, что для всех x ∈ X таких, что |x − a| < δ
выполняется неравенство |f(x) − f(a)| < ε.
26

Страницы