Предел и непрерывность функции - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

то есть f ∈ C({a}), и, значит, f ∈ C(R).
Пример 34. Исследовать на непрерывность следующие функции f(x) в их
естественной области определения, найти точки разрыва и их характер:
a) f(x) =
x
2
− 1
x
2
− 3x + 2
, b) f(x) =
|x|
x
2
+ 3x
, c) f(x) =
ln(1 + x)
x
2
+ 3x
.
a). Область определения функции f : D(f) = R \ {1; 2}. Так как f —
рациональная функция, то f ∈ C(D(f)). Точки x = 1, x = 2 являются
двусторонними предельными точками множества D(f) и не принадлежат ему.
Поэтому они являются точками разрыва функции f. Установим их характер.
Прежде всего заметим, что на множестве D(f)
f(x) =
x + 1
x − 2
∈ C(R \ {2}), lim
x→1
f(x) = −2.
Поэтому точка x = 1 — точка устранимого разрыва функции f.
Далее, lim
x→2∓0
f(x) = lim
x→2∓0
x + 1
x − 2
= ∓∞. Поэтому точка x = 2 является
точкой разрыва второго рода функции f.
b). Область определения функции f : D(f) = R \ {−3; 0}. Функция f яв-
ляется отношением функций ϕ(x) = |x| и g(x) = x
2
+ 3x, которые, очевидно,
непрерывны в R. Следовательно, в силу теоремы об арифметических опера-
циях с непрерывными функциями [3, теорема 3.3], функция f непрерывна
на множестве R \ {x ∈ R : g(x) = 0} = D(f). Точки x = −3 и x = 0 являют-
ся двусторонними предельными для множества D(f) и не принадлежат ему,
поэтому являются точками разрыва функции f. Установим их характер.
Так как lim
x→−3∓0
f(x) = lim
x→−3∓0
|x|
(x + 3)x
= − lim
x→−3∓0
1
x + 3
= ±∞, то у функ-
ции f в точке x = −3 разрыв 2-го рода.
Так как lim
x→∓0
f(x) = lim
x→∓0
sgn x
x + 3
=
1
3
lim
x→∓0
sgn x = ∓
1
3
, то x = 0 — точка
разрыва первого рода, причем неустранимого. Заметим, что функция
f
1
(x) =
f(x), x /∈ {−3, 0},
−
1
3
, x = 0,
является непрерывной слева в точке x = 0, a функция
f
2
(x) =
f(x), x /∈ {−3, 0},
1
3
, x = 0,
является непрерывной справа в точке x = 0.
28

Страницы