Предел и непрерывность функции - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

b). Справедливы утверждения:
x → 1 − 0 ⇒ x − 1 → −0 ⇒
1
x − 1
→ −∞ ⇒ e
1/(x−1)
→ 0 ⇒
f(x) =
1
1 + e
1/(x−1)
→ 1, то есть f(1 − 0) = 1.
Аналогично:
x → 1 + 0 ⇒ x − 1 → +0 ⇒
1
x − 1
→ +∞ ⇒ e
1/(x−1)
→ +∞ ⇒
f(x) =
1
1 + e
1/(x−1)
→ 0, то есть f(1 + 0) = 0.
Таким образом, функция f не имеет предела и точке x
0
= 1. Следовательно,
нельзя подобрать такое a, что функция f непрерывна в точке x
0
= 1.
Пример 36. Исследовать на непрерывность функцию f, найти ее точки
разрыва и их характер, если
a) f(x) = sgn(x
2
− 3x + 2), x ∈ R; b) f(x) =
1, если x ≤ 0,
sin
1
x
, если x > 0.
a). Прежде всего напомним, что
sgn x =
−1, если x < 0,
0, если x = 0,
1, если x < 0.
Для решения поставленной задачи найдем промежутки знакопостоянства
функции y = x
2
− 3x + 2. Так как x
2
− 3x + 2 = 0 в точках x = 1 и x = 2, то
квадратный трехчлен имеет следующие знаки
-b b
1 2 x
+ – +
и потому
f(x) =
1, x ∈ (−∞, 1) ∪ (2, +∞),
0, x ∈ {1, 2},
−1, x ∈ (1, 2).
Следовательно, D(f) = R. Изучим поведение функции f на интервале
(−∞, 1). Если a ∈ (−∞, 1), то ∃δ
a
= |a − 1| > 0 : U
a
(δ
a
) ⊂ (−∞, 1). Поэтому
f
U
a
(δ
a
)
(x) = 1, ∀x ∈ U
a
(δ
a
), значит,
∃ lim
x→a
f
U
a
(δ
a
)
(x) = 1 и ∃ lim
x→a
f(x) = lim
x→a
f
U
a
(δ
a
)
(x) = 1 = f(a),
30

Страницы