Предел и непрерывность функции - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Напомним, что функция
[x] =
n, если x = n,
n − 1, если x ∈ (n −1, n), n ∈ Z,
является непрерывной на множестве R \ Z, а в точках x = n, n ∈ Z, имеет
разрыв 1-го рода, так как lim
x→n−0
[x] = n − 1, lim
x→n+0
[x] = n.
Функция f является произведением функций [x] и g(x) = sin πx. Функ-
ция g(x) является суперпозицией функций y
1
= sin x и y
2
= πx, которые
непрерывны на R, и действуют из R в R. В силу теоремы о непрерывности
сложной функции g(x) ∈ C(R). По теореме об арифметических операциях с
непрерывными функциями f ∈ C(R \ Z).
Если n
0
∈ Z, то n
0
— двусторонняя предельная точка D(f) и
f(n
0
+ 0) = lim
x→n
0
+0
[x] sin πx = n
0
· 0 = 0 = f(n
0
),
f(n
0
− 0) = lim
x→n
0
−0
[x] sin πx = (n
0
− 1) · 0 = 0 = f(n
0
).
Следовательно, ∃ lim
x→n
0
f(x) = 0 = f(n
0
), и f ∈ C({n
0
}). В силу произвольно-
сти n
0
∈ Z и непрерывности функции f на R \Z получаем, что f ∈ C(R). Так
как
f(x) =
0, если x = n,
n sin πx, если x ∈ (n, n + 1), n ∈ Z,
то эскиз графика функции принимает следующий вид:
0 -
y
6
x4321−3−2 −1
−1
1
2
qqqqqqq
q
q
q
Пример 38. Найти числа a и b, при которых функция
f(x) =
x
2
+ 1, если x ≤ 0,
ax + b, если x > 0,
непрерывна на R.
32

Страницы