ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Область определения функции f : D(f) = R. Пусть
ϕ(x) = f(x)
(−∞,0)
, x ∈ (−∞, 0); ψ(x) = f(x)
(0,+∞)
, x > 0.
Поскольку ϕ(x) и ψ(x) являются многочленами на соответствующих мно-
жествах, то они непрерывны на них. С учетом сделанного выше замечания
получаем, что f ∈ (R \{0}). Изучим поведение функции f в точке x = 0. Точ-
ка x = 0 является двусторонней предельной точкой множества D(f), поэтому
найдем односторонние пределы:
lim
x→−0
f(x) = lim
x→−0
(x
2
+ 1) = 1 = f(0),
lim
x→+0
f(x) = lim
x→+0
(ax + b) = b, ∀a ∈ R.
Поскольку lim
x→0
f(x) = A(∈ R) ⇐⇒ f(−0) = f(+0) = A, то функция f бу-
дет непрерывной в точке x = 0 тогда и только тогда, когда b = 1, а a —
произвольное число.
2.1 Задания для самостоятельной работы
1. Исследовать функцию на непрерывность в ее естественной области опре-
деления, указать точки разрыва и их характер:
1) f(x) =
cos x − 1
1 − 3
x
x+1
, 2) f(x) =
arctg x
|x
2
− x|
,
3) f(x) =
1
x + 1
· sin
π
x
, 4) f(x) =
ln (x + 1)
2 − 2
2x+1
x+1
,
5) f(x) =
arctg
x
x + 1
√
1 + x
2
− 1
, 6) f(x) =
cos x
πx − 2x
2
,
7) f(x) =
√
1 − x − 1
|x
2
+ 2x|
, 8) f(x) =
3
x
− 9
x − 2
· 3
−1/x
,
9) f(x) =
√
x
2
− 2x + 1
x
2
− x
, 10) f(x) =
1
x
2
sgn
sin
π
x
!
.
2. Выяснить, существует ли число a, при котором функция f непрерывна в
точке x
0
:
1) f(x) =
sin
2
x − 1
, если x 6= 1
a, если x = 1
, x
0
= 1,
33
