Предел и непрерывность функции - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

c). Область определения функции f: множество D(f) = (−1, 0) ∪ (0, +∞).
Функция f — отношение функций ϕ(x) = ln(1+x) и g(x) = x
2
+3x. Функция
ϕ — суперпозиция функций P(x) = 1+x и ψ(x) = ln(x). P (x) ∈ C(R), поэтому
P (x) ∈ C(−1, +∞). Множество значений функции P (x) на (−1, +∞) совпа-
дает с (0, +∞), поскольку функция P возрастает, непрерывна и lim
x→−1+0
P (x) =
0, lim
x→+∞
P (x) = +∞. Так как ψ(x) ∈ C((0, +∞)), то, в силу теоремы о непре-
рывности сложной функции [3, теорема 3.4], ϕ(x) ∈ C((−1, +∞)). Далее,
g(x) ∈ C((−1, +∞)) и g(x) = 0 ⇔
x = −3,
x = 0.
Поскольку x = −3 /∈ (−1, +∞), то из теоремы об арифметических опера-
циях с непрерывными функциями следует, что f(x) ∈ C(D(f)).
Рассмотрим точку x = 0. Она не принадлежит множеству D(f), но являет-
ся его двусторонней предельной точкой. Поэтому x = 0 — точка разрыва f.
Далее,
lim
x→±0
f(x) = lim
x→±0
ln(1 + x)
x(x + 3)
= lim
x→±0
1
x + 3
=
1
3
,
так как ln(1 + x) ∼ x при x → 0. С ледовательно, существует lim
x→0
f(x) =
1
3
, и
потому x = 0 — точка устранимого разрыва функции f.
Пример 35. Выяснить, существует ли число a, при котором функция f
непрерывна в точке x = x
0
, если
a) x
0
= 0, f(x) =
ln(1 + x)
x
2
+ 3x
, x ∈ (−1, 0) ∪ (0, +∞),
a, x = 0.
б) x
0
= 1, f(x) =
1
1 + e
1/(x−1)
, x 6= 1,
a, x = 1.
Так как x
0
— предельная точка множества D(f), то для решения постав-
ленной задачи следует выяснить, существует ли предел lim
x→x
0
f(x). Если он
существует и конечен, то полагая a равным этому числу, получим непре-
рывность функции f в точке x = x
0
. В противном случае функцию нельзя
доопределить в точке x
0
по закону непрерывности.
a). Так как lim
x→0
f(x) = lim
x→0
ln(1 + x)
x(x + 3)
= lim
x→0
1
x + 3
=
1
3
(см. пример 34 c)), то
при a =
1
3
функция f непрерывна в точке x
0
= 0.
29

Страницы