Предел и непрерывность функции - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Функция f называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна
в каждой точке a ∈ X.
Теория непрерывных функций и основные теоремы о функциях, непре-
рывных в точке и на множестве, определение точек разрыва функции и их
классификация, изложены в [3, глава 3].
Пример 32. Используя определение доказать, что функция f(x) =
√
x
непрерывна на множестве [0, +∞).
1). Пусть a ∈ (0, +∞). Зафиксируем ε > 0. Так как для всех x > 0
|f(x) − f(a)| = |
√
x −
√
a| =
|x − a|
√
x +
√
a
<
|x − a|
√
a
,
то, полагая δ = ε
√
a, получим, что для всех x ∈ U
a
(δ)
|f(x) − f(a)| <
|x − a|
√
a
<
δ
√
a
= ε .
Следовательно, f ∈ C({a}), ∀a > 0.
2). Пусть a = 0. Тогда |f(x) − f(a)| =
√
x, ∀x ≥ 0. Найдем те x ≥ 0, для
которых
√
x < ε:
√
x < ε ⇔
x < ε
2
x ≥ 0
⇔ x ∈
h
0, ε
2
.
Положим δ = ε
2
и получим, что |f(x) − f(a)| =
√
x <
√
δ = ε, ∀x ∈ [0, δ).
Значит f непрерывна в точке a = 0 и f ∈ C ([0, +∞)).
3). Непрерывность функции f на [0, +∞) можно доказать и с помощью
теоремы о непрерывности функции, обратной к монотонной [3, теорема 3.11].
Положим ϕ (x) = x
2
, x ∈ [0, +∞). Функция ϕ на промежутке X = [0, +∞)
возрастает и непрерывна. Из теоремы Дарбу и замечания к ней ([3, теорема
3.9]) следует, что ϕ (X) = [ϕ(0), lim
x→+∞
ϕ (x)) = [0, +∞). А потому, в силу
теоремы 3.11, f(x) = ϕ
−1
(x) ∈ C([0, +∞)) и возрастает.
Пример 33. Используя определение, доказать непрерывность функции
f(x) = x
3
на множестве R.
Пусть a — некоторая точка из R, ε > 0. Если x ∈ U
a
(1), то есть |x −a| < 1,
то |x| = |(x − a) + a| < 1 + |a|, а, значит, для всех x ∈ U
a
(1)
|f(x) − f(a)| = |x
3
− a
3
| = |x − a| · |x
2
+ ax + a
2
| ≤ |x − a|(|x|
2
+ |a| · |x| + a
2
)
< |x − a|((1 + |a|)
2
+ |a|(1 + |a|) + a
2
) = |x − a|(3a
2
+ 3|a| + 1).
Положим δ = min
1;
ε
3a
2
+ 3|a| + 1
. Тогда для всех x ∈ U
a
(δ)
|f(x) − f(a)| < |x − a|(3a
2
+ 3|a| + 1) < δ (3a
2
+ 3|a| + 1) < ε,
27

Страницы