Предел и непрерывность функции - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

5) lim
x→
π
2
sin
10
x − 1
cos
2
x
, 6) lim
x→1
sin(πx
α
)
sin(πx
β
)
(α, β 6= 0),
7) lim
x→0
e
x
2
− cos x
sin
2
x
, 8) lim
x→2
x
α
− 2
α
ln x − ln 2
(α 6= 0),
9) lim
x→0
2
4x
− 2
sin x
5
sin x
− 5
sin 3x
, 10) lim
x→0
7
√
cos 3x − 2
x
arcsin x − 2 sin x
,
11) lim
x→0
x
5
√
1 + 2x − (1 + x)
, 12) lim
x→0
ln(1 + x) − ln(1 − x)
arctg(1 + x) − arctg(1 −x)
.
1.8 Односторонние пределы
Пусть X ⊂ R, X 6= ∅, a ∈ R. Точка a называется левосторонней предель-
ной точкой множества X, если a — предельная точка множества X
T
(−∞, a).
Аналогично, точка a называется правосторонней предельной точкой множе-
ства X, если a — предельная точка множества X
T
(a, +∞). Точка a называ-
ется двусторонней предельной точкой X, если она является и левосторонней,
и правосторонней предельной точкой X. Точка a называется односторонней
предельной точкой множества X, если она либо только левосторонняя, либо
только правосторонняя предельная точка X.
Односторонний предела функции f : X ⊂ R → R в точке a ∈ R, которая
является левосторонней (правосторонней) предельной точкой множества X,
это предел функции f(x) в точке a (при x → a) по множеству X
T
(−∞, a)
(X
T
(a, +∞), соответственно).
При этом пишут:
A = lim
x→a−0
f(x) или A = f(a − 0),
A = lim
x→a+0
f(x) или A = f(a + 0).
Если A ∈ R, то в терминах "ε − δ" (по Коши) определение одностороннего
предела функции в точке a имеет вид:
A = lim
x→a−0
f(x) ⇔
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : |f(x) − A| < ε, ∀x ∈ X
\
(a − δ, a)
,
A = lim
x→a+0
f(x) ⇔
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : |f(x) − A| < ε, ∀x ∈ X
\
(a, a + δ)
,
a в терминах последовательностей (по Гейне):
24

Страницы