Предел и непрерывность функции - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Задания для самостоятельной работы
Вычислить следующие пределы:
1) lim
x→0
cos 3x
3
− 1
sin
6
2x
, 2) lim
x→1
(1 − x) tg
πx
2
,
3) lim
x→π
sin 5x
sin 3x
, 4) lim
x→0
2
sin x sin 2x
−
1
sin
2
x
!
,
5) lim
x→
π
3
sin(x −
π
3
)
1 − 2 cos x
, 6) lim
x→
π
4
1 − tg
2
x
√
2 cos x − 1
,
7) lim
x→+∞
(sin
√
x + 1 − sin
√
x), 8) lim
x→0
tg 2x − 3 arcsin 4x
sin 5x − 6 arctg 6x
,
9) lim
x→π
sin x + cos x + 1
sin 2x − cos 2x + 1
, 10) lim
x→0
arctg
2
x
√
1 + x sin x −
√
cos x
.
1.7 Второй замечательный предел и его следствия
Справедливо утверждение: lim
x→∞
1 +
1
x
!
x
= e. Этот предел называется вто-
рым замечательным пределом. Используя теорему о пределе суперпозиции,
получаем, что
lim
x→a
1 +
1
α(x)
α(x)
= e,
если α(x) 6= 0 в некоторой проколотой окрестности
◦
U
a
и lim
x→a
α(x) = 0. В
частности, lim
x→0
(1 + x)
1/x
= e. Из второго замечательного предела получаем
как следствия следующие три часто используемых предела:
1. lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= log
a
e =
1
ln a
(a > 0, a 6= 1), в частности,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1.
2. lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a (a > 0, a 6= 1), в частности, lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1.
3. lim
x→0
(1 + x)
µ
− 1
x
= µ, µ ∈ R.
Используя теорему о пределе суперпозиции в предположении, что α(x) 6= 0
в некоторой проколотой окрестности
◦
U
x
0
и lim
x→x
0
α(x) = 0, легко устанавливаем
справедливость следующих равенств:
19

Страницы