ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1 Введение в анализ
1.1 Метод математической индукции
Прямым следствием определения множества N натуральных чисел являет-
ся принцип математической индукции. Пусть E — подмножество множества
N и выполняются условия:
• 1 ∈ E,
• вместе с числом x множеству E принадлежит число x + 1.
Тогда E = N.
Чтобы доказать справедливость некоторого предложения A(n) для любого
натурального n ∈ N, следует доказать, что предложение A(n) верно для
n = 1 и из предположения о справедливости предложения A(n) доказать
справедливость предложения A(n + 1), то есть
A(1) — истина, и A(n) ⇒ A(n + 1), n ∈ N.
Такой метод доказательства называют методом математической индукции.
Иногда метод математической индукции применяют для доказательства
справедливости предложения A(n) для n ∈ N и n > m > 1. В этом случае
изменяется первый шаг доказательства: проверяется справедливость предло-
жения A(m).
Чтобы познакомиться с методом математической индукции, рассмотрим
несколько примеров разной степени сложности.
Пример 1. Доказать для всех n ∈ N равенство
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
.
Будем считать, что это равенство является предложением A(n). Если n = 1,
то равенство принимает вид: 1 =
1 · 2 · 3
6
, что верно. Поэтому A(1) верно.
Предположим, что A(n) верно для n ∈ N. Докажем справедливость A(n + 1).
Рассмотрим левую часть равенства A(n + 1). Имеем:
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
| {z }
+(n + 1)
2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
+ (n + 1)
2
=
=
(n + 1)
2n
2
+ n + 6(n + 1)
6
=
(n + 1)
2n
2
+ 7n + 6
6
=
=
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
6
=
(n + 1) ((n + 1) + 1) (2(n + 1) + 1)
6
.
3
