ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Предположим, что A(n) верно при некотором n ∈ N, n > 5, то есть 2
n
−n
2
>
0. Докажем, что 2
n+1
− (n + 1)
2
> 0. Имеем:
2
n+1
− (n + 1)
2
= 2
2
n
− n
2
+ 2n
2
−
n
2
+ 2n + 1
=
= 2
2
n
− n
2
+
(n − 1)
2
− 2
. (1)
Так как A(n) верно, то 2
n
− n
2
> 0, поэтому первое слагаемое положи-
тельно; n − 1 > 4 при n > 5, а значит, (n − 1)
2
> 4
2
> 2. Следовательно,
второе слагаемое выражения (1) положительно и A(n + 1) верно, то есть
A(n) ⇒ A(n + 1), n ∈ N. В силу принципа математической индукции утвер-
ждение верно для всех n ∈ N, n > 5.
1.2 Бином Ньютона
Формулой бинома Ньютона называют формулу
(a + b)
n
=
n
X
k=0
n!
k!(n − k)!
a
n−k
b
k
. (2)
Ее доказательство можно найти во многих учебниках (см. [3, стр. 11]).
Коэффициенты
n!
k!(n − k)!
в правой части формулы (2) называют биноми-
альными коэффициентами и обозначают C
k
n
. Они обладают многими инте-
ресными свойствами. Отметим только самые простые:
1) C
k
n
= C
n−k
n
, k = 0, 1, . . . , n; 3)
n
X
k=0
C
k
n
= 2
n
;
2) C
k
n
+ C
k−1
n
= C
k
n+1
, k = 0, 1, . . . , n; 4)
n
X
k=0
(−1)
k
C
k
n
= 0.
Пример 5. Разложить по формуле бинома Ньютона (2 − 3x)
5
.
(2 − 3x)
5
=
5
X
k=0
C
k
5
2
5−k
(−3x)
k
. Вычислим биномиальные коэффициенты.
C
0
5
= C
5
5
= 1, C
1
5
= C
4
5
=
5!
1! · 4!
= 5, C
2
5
= C
3
5
=
5!
2! · 3!
=
5 · 4
1 · 2
= 10.
Поэтому
(2 − 3x)
5
= 2
5
− 5 · 2
4
· 3x + 10 · 2
3
· 3
2
x
2
− 10 · 2
2
· 3
3
x
3
+ 5 · 2 · 3
4
x
4
− 3
5
x
5
.
Пример 6. Написать разложение
a −
√
2
5
+
a +
√
2
5
.
a −
√
2
5
+
a +
√
2
5
=
5
X
k=0
C
k
5
a
5−k
−
√
2
k
+
5
X
k=0
C
k
5
a
5−k
√
2
k
.
5
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
