Введение в анализ. Предел последовательности - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

В выписанных суммах слагаемые, соответствующие k = 0 и четным k,
равны, поэтому при приведении подобных удваиваются, а слагаемые, соот-
ветствующие нечетным k, равны по модулю и противоположны по знаку,
поэтому уничтожаются. Наконец, C
0
5
= 1, C
2
5
= 10, C
4
5
= 5. Поэтому
a −
√
2
5
+
a +
√
2
5
= 2
a
5
+ 10a
3
· 2 + 5a · 2
2
=
= 2
a
5
+ 20a
3
+ 20a
.
Пример 7. Найти коэффициент при x
7
в следующих многочленах
1) P (x) = (2 − 5x)
15
;
2) P (x) = x
3
(2x − 1)
12
;
3) P (x) = (3x
2
− 2)(5 − 7x)
8
.
Пусть P (x) =
P
n
k=0
a
k
x
k
— многочлен n-ой степени. Во всех задачах тре-
буется найти коэффициент a
7
.
1). P (x) =
15
X
k=0
C
k
15
(−5x)
k
2
15−k
, поэтому
a
7
= C
7
15
(−5)
7
2
8
= −
15!
7! · 8!
5
7
· 2
8
.
2). P (x) = x
3
·
12
X
k=0
C
k
12
(2x)
k
(−1)
12−k
=
12
X
k=0
C
k
12
2
k
(−1)
12−k
x
k+3
. Одночлен,
содержащий x
7
, получается при k = 4, а значит
a
7
= C
4
12
2
4
(−1)
8
= C
4
12
2
4
.
3). P (x) = (3x
2
− 2)
8
X
k=0
C
k
8
(−7x)
k
5
8−k
=
=
8
X
k=0
C
k
8
(−7)
k
5
8−k
3x
k+2
−
8
X
k=0
C
k
8
(−7)
k
5
8−k
2x
k
.
В 1-ой сумме одночлен, содержащий x
7
, получается при k = 5, а во 2-ой —
при k = 7, поэтому a
7
= −3 C
5
8
· 7
5
· 5
3
+ 2 · C
7
8
· 7
7
· 5.
Так как C
5
8
=
8!
5! · 3!
= 56, а C
7
8
=
8!
7! · 1!
= 8, то
a
7
= 7
5
· 5(−56 · 75 + 2 · 8 · 49) = 7
6
· 5 · 8(−75 + 14) = −65 · 7
6
· 40.
Пример 8. Найти члены разложения
√
5 −
3
√
2
8
, которые являются це-
лыми числами.
6

Страницы