ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
По формуле (2)
√
5 −
3
√
2
8
=
8
X
k=0
C
k
8
√
5
8−k
3
√
2
k
. Так как C
k
8
∈ Q при
k = 0, 1, . . . , 8, то k-ый член разложения является рациональным числом, если
k делится на 3, а 8 − k делится на 2. Число 8 делится на 2, поэтому 8 − k
делится на 2, только если k делится на 2. А, значит, k должно делиться на
6. Из чисел 0, 1, . . . , 8 этому условию удовлетворяют только 0 и 6. Поэтому
рациональными являются первый и седьмой члены разложения. Наконец, так
как
C
0
8
= 1, C
6
8
=
8!
6! · 2!
=
8 · 7
2
= 28,
то оба эти члена разложения являются целыми числами.
1.3 Задания для самостоятельной работы
A. Доказать для n ∈ N справедливость следующих утверждений.
1.
1
1 · 4
+
1
4 · 7
+
1
7 · 10
+ . . . +
1
(3n − 2)(3n + 1)
=
n
3n + 1
.
2. 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10 + . . . + n(3n + 1) = n(n + 1)
2
.
3. 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ . . . + (2n − 1)
2
=
n(2n − 1)(2n + 1)
3
.
4. 3 + 20 + 168 + . . . + (2n + 1)2
n−1
n! = 2
n
(n + 1)! − 1.
5.
1
3
+
3
3
2
+
5
3
3
+ . . . +
2n − 1
3
n
= 1 −
n + 1
3
n
.
6.
1
3 · 5
+
6
5 · 7
+
20
7 · 9
+ . . . +
2n − 1
(2n + 1)(2n + 3)
2
n−1
=
2
n
2n + 3
−
1
3
.
7.
1 −
1
4
!
1 −
1
9
!
· . . . ·
1 −
1
(n + 1)
2
=
n + 2
2n + 2
.
8. 1 · 2 + 2 · 5 + 3 · 8 + . . . + n(3n − 1) = n
2
(n + 1).
9. 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + (n − 1) · n =
(n − 1)n(n + 1)
3
.
10. 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ . . . + n
3
=
n(n + 1)
2
2
.
11. 1 · 2
2
+ 2 · 3
2
+ . . . + (n − 1)n
2
=
n(n
2
− 1)(3n + 2)
12
.
12.
1
1 · 3
+
1
3 · 5
+ . . . +
1
(2n − 1)(2n + 1)
=
n
2n + 1
13. 1
2
+ 2
2
+ . . . + n
2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
.
7
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
