Введение в анализ. Предел последовательности - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Последнее означает справедливость утверждения A(n + 1). Получили, что
A(n) ⇒ A(n + 1), n ∈ N. В силу принципа математической индукции заклю-
чаем, что A(n) справедливо на N.
Пример 2. Доказать, что на N справедливо равенство
1 ·1! + 2 · 2! + 3 · 3! + . . . + n · n! = (n + 1)! − 1.
Прежде всего заметим, что под символом n! понимают произведение по-
следовательных натуральных чисел 1 ·2·3 ·. . .·n и называют n−факториалом;
при этом считают, что 0! = 1. Введенная таким образом функция определена
на множестве N
0
= N ∪ {0}.
Обозначим предложенное равенство через A(n).
Если n = 1, то имеем: 1 · 1! = 2! − 1, что верно. Поэтому A(1) верно.
Предположим, что предложение A(n) справедливо на элементе n ∈ N.
Докажем справедливость A(n + 1). Левая часть предложения A(n + 1) может
быть преобразована следующим образом:
1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + . . . + n · n!
| {z }
+(n + 1)(n + 1)! =
= ((n + 1)! − 1) + (n + 1)(n + 1)! = (n + 1)! (1 + (n + 1)) −1 = ((n + 1) + 1)! −1.
Значит A(n + 1) верно, то есть A(n) ⇒ A(n + 1), n ∈ N, и доказываемое
равенство справедливо на N.
Пример 3. Доказать, что n
3
+ 11n кратно 6 для всех n ∈ N.
Обозначим утверждение через A(n). Если n = 1, то n
3
+ 11n = 12, поэтому
A(1) верно.
Допустим, что A(n) справедливо для некоторого n ∈ N и докажем спра-
ведливость A(n + 1).Преобразуем выражение (n + 1)
3
+ 11(n + 1), выделив
n
3
+ 11n. Имеем:
(n + 1)
3
+ 11(n + 1) = n
3
+ 3n
2
+ 14n + 12 = (n
3
+ 11n) + 3(n + 1)n + 12.
Выражение n
3
+ 11n кратно 6, так как A(n) верно; 12 делится на 6; n ·(n + 1)
— произведение двух последовательных натуральных чисел, поэтому одно
из них является четным и 3n(n + 1) кратно 6. Сумма чисел, кратных 6,
является кратной 6. Следовательно, (n + 1)
3
+ 11(n + 1) кратно 6, а значит
A(n) ⇒ A(n + 1), n ∈ N, и A(n) верно на N.
Пример 4. Доказать, что 2
n
> n
2
, ∀n > 5.
Утверждение обозначим через A(n). Если n = 5, то имеем: 2
5
> 5
2
, то есть
32 > 25, что верно. Поэтому A(5) верно.
4

Страницы