ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
a) Прежде всего, заметим, что числитель и знаменатель отношения обра-
зуют расходящиеся последовательности, но
x
n
=
(−1)
n
1 +
(−1)
n
n
(−1)
n
1 −
(−1)
n
n
2
=
1 +
(−1)
n
n
1 −
(−1)
n
n
2
.
Так как
(−1)
n
n
и
(−1)
n
n
2
— бесконечно малые последовательности, то
lim x
n
= 1.
b) Последовательность {x
n
} — произведение 2-х последовательностей
2n
2
+ 3n − 1
(2n + 1)(6n + 1)
и {
n
√
n + 1}.
Так как
n
√
n <
n
√
n + 1 <
n
√
2n =
n
q
2 ·
n
q
n, ∀n ∈ N и lim
n
√
n = lim
n
√
2 = 1, то,
lim
n
√
n + 1 = 1. Далее,
y
n
=
2n
2
+ 3n − 1
(2n + 1)(6n + 1)
=
n
2
(2 +
3
n
−
1
n
2
)
n
2
(2 +
1
n
)(6 +
1
n
)
⇒ lim y
n
= 1/6.
Следовательно, в силу теоремы 2.9 из [3], lim x
n
= 1/6.
Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить предел последовательности {x
n
}:
a) x
n
=
(n + 1)
3
− (n + 1)
2
(n − 1)
3
− (n + 1)
3
, b) x
n
=
√
5n + 2 −
3
√
8n
3
+ 5
4
√
n + 1 −
√
n
,
c) x
n
=
ln (n
2
+ ln n)
ln (n
4
+ cos n)
, d) x
n
=
1 + 2 + ... + n
n + 2
−
n
2
,
e) x
n
=
n + (−6)
n
+ 3
−n
9
n
+
√
n
, f) x
n
= (n + 1) arctg n,
g) x
n
= (3 + cos n) 2
−n
, x
n
=
3
√
n
4
3
√
n
2
+ 3 −
3
√
n
2
− 3
.
2. Доказать, что последовательность
(
(−1)
n(n+1)/2
·
n
n + 1
)
расходится.
35
