ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
g) x
n
=
1
√
n
2
+ 1
+
1
√
n
2
+ 2
+ ... +
1
√
n
2
+ n
.
a) Числитель и знаменатель в представлении x
n
являются бесконечно
большими. Вынесем в них за скобки максимальные степени числа n:
x
n
=
n
2
1 −
1
n
3/2
!
n
3 + 2
ln n
n
!
= n
1 −
1
n
3/2
3 + 2
ln n
n
.
Последовательности
(
1
n
3/2
)
и
(
ln n
n
)
являются бесконечно малыми, поэтому
(
2
ln n
n
)
— бесконечно малая последовательность. Но тогда по теореме 2.9 из
[3] lim 1 −
1
n
3/2
= 1, lim 3 + 2 ·
ln n
n
= 3 и
lim
1 −
1
n
3/2
3 + 2
ln n
n
= 1/3 6= 0.
Поэтому исходная последовательность отграничена от нуля. Учитывая, что
{n} — бесконечно большая последовательность, в силу свойств бесконечно
больших, делаем вывод о том, что {x
n
} — бесконечно большая последова-
тельность. Наконец, замечая, что x
n
> 0, ∀n ∈ N, получаем, что lim x
n
= +∞.
b) Разность дробей приведем к общему знаменателю, получим
x
n
=
(3n − 1)
2
− n
2
(n + 5)
2
.
Числитель и знаменатель отношения являются многочленами 2-ой степени.
Деля числитель и знаменатель на n
2
, получим, что
x
n
=
(3 − 1/n)
2
− 1
(1 + 5/n)
2
⇒ lim x
n
= 8.
c) Избавимся от разности радикалов в выражении и получим, что
x
n
=
(n
2
+ 2n + 3) − (n
2
− 2n + 3)
√
n
2
+ 2n + 3 +
√
n
2
− 2n + 3
=
4n
√
n
2
+ 2n + 3 +
√
n
2
− 2n + 3
=
=
4
s
1 +
2
n
+
3
n
2
+
s
1 −
2
n
+
3
n
2
.
33
