Введение в анализ. Предел последовательности - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

a) Так как ln n > 0, ∀n > 1 и ∀ε > 0 ln n > ε ⇔ n > e
ε
, то положим
N = [e
ε
] и получим, что
∀ε > 0 ∃N = N(ε) : ln n > ε, ∀n > N.
Поэтому, последовательность является положительной бесконечно большой,
а поэтому расходится.
b) Выпишем члены последовательности
(
n sin
π
2
n
!)
: 1, 0, −3, 0, 5, 0, . . . .
Все элементы с четными номерами равны нулю, значит подпоследователь-
ность {x
2k
} сходится к 0. Но
x
2k−1
= (2k − 1) sin
kπ −
π
2
!
= (−1)
k+1
(2k − 1), ∀k ≥ 1,
поэтому |x
2k−1
| = 2k −1, ∀k ∈ N и x
2k−1
→ ∞. Значит, подпоследовательность
{x
2k−1
} является бесконечно большой. А так как {x
2k
} — бесконечно малая
подпоследовательность, то последовательность {x
n
} расходится.
Задания для самостоятельной работы
1. Пусть lim x
n
= ∞. Доказать, что lim |x
n
| = +∞.
2. Пусть lim x
n
= a ∈ R и a 6= 0. Доказать расходимость последовательности
{x
n
· sin
π
2
n}.
3. Используя определение бесконечно большой последовательности, дока-
зать, что
a) lim
n
2
2n − 1
= +∞, b) lim(cos n − 2n) = −∞;
c) lim
n
2
− 3n
n + 10
= +∞, d) lim
(−1)
n
n
2
n + 1
= ∞;
e) lim(
√
2n + 1 −
√
3n) = −∞, f) lim
√
n
5
− 1
2n
2
− n + 1
= +∞.
4. Доказать, что последовательность {(1 + (−1)
n
) · n}, n ∈ N, является
неограниченной, но не является бесконечно большой.
2.5 Вычисление предела последовательности
При вычислении предела последовательности часто используются перечис-
ленные ниже факты.
31

Страницы