ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1. Если P (n) =
k
0
X
k=1
a
k
n
k
и a
k
0
6= 0, то lim
n
P (n) =
+∞, если a
k
0
> 0,
−∞, если a
k
0
< 0.
2. lim
n
1
n
α
= 0, если α > 0.
3. lim
n
n
√
a + α
n
= 1, если a > 0 и α
n
→ 0.
4. lim
n
k
√
a + α
n
=
k
√
a, если a > 0 и α
n
→ 0.
5. lim
n
n
α
a
n
= 0, если |a| > 1.
6. lim
n
ln n
n
α
= 0, если α > 0.
7. lim
n
a
n
n!
= 0, если a ∈ R.
Кроме того, используется теорема об арифметических операциях со сходя-
щимися последовательностями [3, теорема 2.9], свойства бесконечно малых
и бесконечно больших последовательностей [3, разделы 2.1.3, 2.1.5,] и лемма
о представлении членов сходящейся последовательности в терминах беско-
нечно малых последовательностей [3, лемма 2.1].
Некоторые задачи теории пределов используют следующее понятие.
Определение 9. Числовая последовательность {x
n
} называется от-
граниченной от нуля, если существуют число m>0 и номер n
0
такие, что
|x
n
| ≥ m, ∀n > n
0
.
При доказательстве отграниченности от нуля последовательности либо ис-
пользуют тот факт, что последовательность имеет предел, отличный от нуля,
либо приводят оценки снизу модуля ее общего члена.
Пример 31. Доказать, что последовательность {2 + sin
√
n} отграничена от
нуля.
Так как |2+sin
√
n| ≥ 2−|sin
√
n| ≥ 2−1 = 1, ∀n ≥ 1, то последовательность
отграничена от нуля.
Пример 32. Вычислить предел последовательности {x
n
}, если
a) x
n
=
n
2
−
√
n
3n + 2 ln n
, b) x
n
=
3n − 1
n + 5
!
2
−
n
n + 5
!
2
,
c) x
n
=
√
n
2
+ 2n + 3 −
√
n
2
− 2n + 3, d) x
n
=
(2n + 1)
3
− 8n
3
(1 + 2n)
2
+ 4n
2
,
e) x
n
=
√
2n
2
+ 2n + 3 −
√
n
2
− n + 3, f) x
n
= (7 + sin n) ln n,
32
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
