Введение в анализ. Предел последовательности - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

b) Так как
3
√
n > 1, ∀n > 1, то x
n
=
3
√
n + (−1)
n
> 0, ∀n > 1. Далее,
x
n
=
3
√
n + (−1)
n
≥
3
√
n − 1 и
3
√
n − 1 > ε ⇔ n > (1 + ε)
3
. Положим N =
[(1 + ε)
3
], получим x
n
=
3
√
n + (−1)
n
>
3
√
n − 1 ≥ ε, ∀n > N. Следовательно,
последовательность является положительной бесконечно большой.
c) Прежде всего заметим, что sin n − n < 0, ∀n ∈ N. Так как
|x
n
| = |sin n − n| = n − sin n > n −1, ∀n ∈ N, и n − 1 > ε ⇔ n > 1 + ε,
положим N = [1+ε] и получим, что |sin n−n| = n−sin n > n−1 > ε, ∀n > N.
Это означает, что последовательность {x
n
} является бесконечно большой, а,
учитывая знак ее членов — отрицательной бесконечно большой.
Пример 29. Доказать, что последовательность {x
n
} : x
n
= n
(−1)
n
является
неограниченной, но не является бесконечно большой.
Выпишем члены этой последовательности и отметим соответствующие им
точки числовой оси: 1, 2, 1/3, 4, 1/5, 6, 1/7, . . . .
-
0 1 2 4 6
1
5
1
3
Расположение членов последовательности зависит от четности (нечетно-
сти) номера n. Последовательность {x
2k
} = {2k} является бесконечно боль-
шой, так как ∀ε > 0 ∃N = max{1; [ε/2]} такой, что ∀k > N выполняется
неравенство |x
2k
| = 2k > 2(ε/2) = ε. Поэтому последовательность {x
n
} не
ограничена (последовательность, имеющая бесконечно большую подпоследо-
вательность, не ограничена). Последовательность {x
2k−1
} =
(
1
2k − 1
)
имеет
предел, и он равен 0, так как ∀ε > 0
0 <
1
2k − 1
=
1
k + (k − 1)
< 1/k < ε ⇔ k > 1, k > 1/ε,
а, значит, 0 < x
2k−1
< 1/k < ε, ∀k > N
1
= max{1; [1/ε]}.
Итак, в окрестности U
∞
(ε) бесконечно удаленной точки содержатся эле-
менты x
2k
, ∀k > N, а вне ее (в окрестности U
0
(ε)) находится бесконечное мно-
жество элементов последовательности с нечетными номерами x
2k−1
, k > N
1
.
Поэтому последовательность {x
n
} не является бесконечно большой. Заме-
тим, что последовательность {x
n
} не имеет предела, поскольку у нее есть
две подпоследовательности, имеющие различные пределы.
Пример 30. Доказать, что последовательность {x
n
} расходится, если
a) x
n
= ln n, b) x
n
= n sin
π
2
n
!
.
30

Страницы