Введение в анализ. Предел последовательности - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Но, как отмечалось выше, lim
n
√
4 = lim
n
√
6 = 1. Поэтому существует предел
lim
n
q
5 + (−1)
n
= 1.
c) Так как 1 ≤ ln n < n, ∀n > 3, то в силу свойств арифметического корня
1 ≤
n
√
ln n <
n
√
n, ∀n > 3. Но lim
n
√
n = 1, поэтому lim
n
√
ln n = 1.
d) Прежде всего заметим, что
2
n
= 1 + 1
n
= 1 + n +
n(n − 1)
2
+ . . . + 1 >
n(n − 1)
2
, ∀ n ≥ 1.
Значит, 0 <
n
2
n
<
2n
n(n − 1)
=
2
n − 1
, ∀n > 1. Поскольку lim
2
n − 1
= 0, то по
теореме о 3-х последовательностях lim
n
2
n
= 0. Аналогично можно доказать,
что lim
n
α
a
n
= 0, если α > 0, a > 1.
Задания для самостоятельной работы
1. Записать в виде неравенств окрестности U
1
(1/3), U
−10
(1), U
0
(1/5).
2. Найти ε и x
0
, для которых интервал (−1, 5) является ε-окрестностью
точки x
0
.
3. Используя определение предела последовательности, доказать, что
a) lim
n
2
− 1
n
2
+ 5
= 1, b) lim
3 · 5
n
5
n
+ 7
= 3,
c) lim
ln n − 1
2 ln n
=
1
2
, d) lim
v
u
u
t
9 +
1
n
= 3.
4. Пусть lim x
n
= 0. Могут ли быть у этой последовательности:
a) члены, большие 10
10
?
b) бесконечное число членов, больших 10 ?
c) бесконечное число членов, меньших 2
−10
?
5. Пусть последовательности {x
n
}, {y
n
} сходятся и lim x
n
= lim y
n
= a. До-
казать, что последовательность x
1
, y
1
, x
2
, y
2
, . . . x
n
, y
n
, . . . сходится и
ее предел равен a.
6. Пусть последовательность {x
n
} сходится и lim x
n
= 0, а последователь-
ность {y
n
} такова, что |y
n
− 1| < |x
n
|, ∀ n > n
0
. Доказать, что последова-
тельность {y
n
} сходится и найти ее предел.
28

Страницы