Введение в анализ. Предел последовательности - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Фиксируем ε > 0. Так как x
2k
= 1 +
1
2k
, x
2k−1
= −1 +
1
2k − 1
, k ∈ N, то
|x
2k
− 1| =
1
2k
<
1
k
, ∀k ∈ N; |x
2k−1
− (−1)| =
1
2k − 1
<
1
k
, ∀k ≥ 2.
Полагая N = max{1; [1/ε]}, получим, что для всех k > N
|x
2k
− 1| <
1
k
< ε, |x
2k−1
− (−1)| <
1
k
< ε.
Последнее, в силу произвольности ε, означает, что
∃ lim
k→∞
x
2k
= 1, ∃ lim
k→∞
x
2k−1
= −1.
Следовательно, последовательность {x
n
} имеет две подпоследовательности
{x
2k
}
∞
k=1
и {x
2k−1
}
∞
k=1
, имеющие различные пределы. Поэтому последователь-
ность {x
n
} не имеет предела.
Теорема о трех последовательностях дает другой подход к доказательству
того факта, что число a является пределом последовательности {x
n
}. При
этом часто используются следующие факты:
1) lim
n
√
n = lim
n
√
a = 1, если a > 0;
2) lim q
n
= 0, если |q| < 1.
Пример 27. Доказать с помощью теоремы о трех последовательностях:
a) lim
sin n
2
n
= 0, b) lim
n
q
5 + (−1)
n
= 1,
c) lim
n
√
ln n = 1, d) lim
n
2
n
= 0.
a) Заметим, что последовательность
(
sin n
2
n
)
рассмотрена в примере 25 с
помощью определения предела. Так как −1 < sin n < 1, ∀ n ∈ N, то
−
1
2
n
<
sin n
2
n
<
1
2
n
, ∀n ∈ N.
Но lim
1
2
n
= lim
−
1
2
n
!
= 0. Значит, в силу теоремы о трех последовательно-
стях, существует lim
sin n
2
n
= 0.
b) Так как −1 ≤ (−1)
n
≤ 1, ∀n ∈ N, то 4 ≤ 5 + (−1)
n
≤ 6, ∀n ∈ N, и
n
√
4 ≤
n
q
5 + (−1)
n
≤
n
√
6, ∀n ∈ N.
27

Страницы