Введение в анализ. Предел последовательности - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

2) последовательности {x
n
} и {z
n
} сходятся и lim x
n
= lim z
n
= a.
Тогда последовательность {y
n
} сходится и lim y
n
= a.
Теорема 2 (о пределе подпоследовательности). Если число a являет-
ся пределом последовательности {x
n
}, то любая подпоследовательность
последовательности {x
n
} имеет предел, равный a.
Пример 25. Используя определение предела последовательности в терми-
нах "ε − N" , доказать, что
a) lim
n + 1
n + 5
= 1, b) lim
sin n
2
n
= 0, c) lim
n +
√
n
n
4
+ n − arctg n
= 0.
a) Фиксируем произвольное ε > 0. Найдем такое число N, что для n > N
справедливо неравенство |x
n
− 1| < ε. Так как
|x
n
− 1| =
n + 1
n + 5
− 1
=
−4
n + 5
=
4
n + 5
, ∀n ∈ N,
то
|x
n
− 1| < ε ⇐⇒
4
n + 5
< ε ⇐⇒ n >
4
ε
− 5.
Выберем в качестве N какое-либо натуральное число, большее либо равное
числу
"
4
ε
− 5
#
, например, N = max
(
1,
"
4
ε
− 5
#)
. В частности, если ε = 1, то
N = 1; если ε = 1/2, то N = 3; если ε = 1/10, то N = 35. Тогда для всех n >
N выполняется неравенство |x
n
−1| =
4
n + 5
< ε. Учитывая произвольность в
выборе ε > 0 и определение предела, получаем, что ∃ lim x
n
= 1.
Заметим, что при доказательстве данного утверждения следовало показать
существование номера N, а не указать наименьшее N, начиная с которого
выполняется неравенство |x
n
− a| < ε. Поэтому можно учесть, что
|x
n
− 1| =
4
n + 5
<
4
n
, ∀ n ∈ N.
Затем найти те n ∈ N, для которых
4
n
< ε, ∀n > N. В качестве N в этом
случае можно взять число N = max{1, [4/ε]}. Тогда |x
n
− 1| < 4/n ≤ ε.
Замена величины |x
n
− 1| несколько большей позволяет упростить нера-
венство, решением которого являются те n ∈ N, для которых выполняется
неравенство |x
n
− 1| < ε.
b) Фиксируем ε > 0. Найдем такое число N, что для n > N справедливо
неравенство |x
n
− 0| = |x
n
| < ε. Так как
|x
n
| =
|sin n|
2
n
<
1
2
n
, ∀ n ∈ N,
25

Страницы